Celé číslo

Z Multimediaexpo.cz

Celá čísla se skládají z přirozených čísel (1, 2, 3, …), nuly a záporných celých čísel (-1, -2, -3, …). Množina celých čísel se v matematice většinou označuje Z, nebo \(\mathbb{Z}\), podle Zahlen (německy čísla). Podobně jako přirozená čísla, tvoří celá čísla nekonečnou spočetnou množinu. Studiem celých čísel se zabývá teorie čísel.

Algebraické vlastnosti

Množina celých čísel Z je uzavřená na operaci sčítání a násobení, to znamená, že součet i součin dvou celých čísel je opět celé číslo. Navíc oproti přirozeným číslům je uzavřená i pro odčítání. Není však uzavřena pro dělení, neboť podíl dvou celých čísel už nemusí být celé číslo (např. 1/2). Následující tabulka ukazuje zakladní vlastnosti násobení a sčítaní pro jakákoliv celá čísla a, b, c.

V algebře tvoří Z s prvními pěti vlastnostmi uvedenými výše na operaci sčítání Abelovskou grupu. Grupa Z s operací sčítaní je cyklická, protože každý nenulový prvek může být vyjádřen konečným součtem (např 1 + 1 + … + 1 nebo (−1) + (−1) + … + (−1)). Říkáme tedy, že grupa Z s operací sčítání je nekonečná cyklická grupa a tedy každá nekonečná cyklická grupa je isomorfní Z. První čtyři vlastnosti uvedené výše s operací násobení říkají, že Z s toutu operací je komutativní monoid. Ale ne každý prvek ze Z ma inverzní prvek (ve smyslu násobení), prostě neexistuje takové celé číslo x, které by vyhovovalo rovnici 2x = 1. To znamená, že Z netvoří spolu s operací násobení grupu. Všechny vlastnosti z tabulky, kromě poslední, dohormady s operacemi sčítání a násobení na Z tvoří komutativní okruh s jednotkou. Přidáním poslední vlastnosti získame obor integrity nad Z. Neexistence inverzních prvků vzhledem k násobení, neboli že Z není uzavřena na dělení, znamená, že Z není těleso. Nejmenším tělesem obsahujícím celá čísla je tedy těleso racionálních čísel. Podobně se dá definovat i podílové těleso jakéhokoliv oboru integrity. Přestože bežné děleni není na Z definováno, neznamená to, že nemůžeme používat algoritmus dělení, ten říka: mějme dvě celá čísla a a b, kde b ≠ 0, pak existují právě dvě celá čísla q a r taková, že a = q × b + r a 0 ≤ r < |b|, kde |b| značí absolutní hodnotu b. Celé číslo q se nazývá kvocient a r se nazývá zbytek po dělení čísla a číslem b. To tvoří základ pro Euklidův algoritmus k výpočtu největšího společného dělitele.

Konstrukce

Celá čísla mohou být zkonstruována z přirozených čísel definováním tříd ekvivalence dvojic čísel N×N s relací ekvivalence, „~“, kde

\( (a,b) \sim (c,d) \,\! \)

právě tehdy, když

\(a+d = b+c. \,\!\)

Kdybychom brali 0 jako přirozené číslo, pak přirozená čísla můžeme považovat za čísla celá vnořením, které přirozenému číslu n přiřadí [(n,0)], kde [(a,b)] značí třídu ekvivalence, která obsahuje (a,b). Sčítání a násobení celých čísel je definováno následovně:

\([(a,b)]+[(c,d)] := [(a+c,b+d)].\,\)

\([(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].\,\)

Dá se lehce ověřit, že výsledek je nezávislý na volbě reprezentantů třídy ekvivalence. Typicky, [(a,b)] je označení pro

\(\begin{cases} n, & \mbox{if } a \ge b \\ -n, & \mbox{if } a < b, \end{cases} \)

kde

\(n = |a-b|.\,\)

Jestliže přirozená čísla přiřadíme k odpovídajícím celým číslům (použitím výše uvedeného vnoření), pak toto přiřazení je jednoznačné. Příklady:

\(\begin{align}

0 &= [(0,0)] &= [(1,1)] &= \cdots & &= [(k,k)] \\
1 &= [(1,0)] &= [(2,1)] &= \cdots & &= [(k+1,k)] \\

2 &= [(2,0)] &= [(3,1)] &= \cdots & &= [(k+2,k)] \\

-2 &= [(0,2)] &= [(1,3)] &= \cdots & &= [(k,k+2)] \end{align}\)