Monoid

Z Multimediaexpo.cz

Struktury s jednou binární operací
	Asociativita	Neutrální prvek	Inverzní prvek
Grupa
Monoid
Pologrupa
Lupa
Kvazigrupa
Grupoid

V algebře je monoid algebraická struktura s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem.

Je to tedy grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.

Obsah 1 Definice 2 Příklady 3 Homomorfismus monoidů 4 Související články

Definice

Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × M → M, a těmito axiomy:

• Asociativita: ∀ x, y, z ∈ M (x·y)·z = x·(y·z)
• Neutrální prvek: (∃e∈ M) (∀x∈ M) x·e = e·x = x.

Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace.

• ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M

Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.

Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.

Monoid, jehož operace je také komutativní se nazývá komutativní monoid, nebo Abelovský monoid.

Příklady

• Přirozená čísla tvoří komutativní monoid k operaci násobení.
• Množina všech matic n×n tvoří monoid vůči sčítání i násobení

Homomorfismus monoidů

O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že:

• ∀x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y).
• f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).

Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.

Související články

• Grupoid
• Pologrupa
• Grupa – monoid rozšířený o inverzní operaci

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii