Grupoid

Z Multimediaexpo.cz

Struktury s jednou binární operací
	Asociativita	Neutrální prvek	Inverzní prvek
Grupa
Monoid
Pologrupa
Lupa
Kvazigrupa
Grupoid

V algebře je grupoid základní algebraická struktura s jednou operací. Je to množina A, na které je definována jedna binární operace •. Množina A je vzhledem k operaci • uzavřená, tj. výsledkem operace provedené na libovolných prvcích množiny A je prvek množiny A.

Definice

Množinu \((\mathbb{M})\), na které je definována jedna binární operace (·) nazýváme grupoid a značíme \((\mathbb{M};\cdot)\).

Příklady

(N; +) - operace sčítání na množině přirozených čísel.
(N; ·) - operace násobení na množině přirozených čísel.

Protipříklady

(N; -) - operace odčítání na množině přirozených čísel není uzavřená.
(N; :) - operace dělení na množině přirozených čísel není uzavřená.

Vlastnosti

Grupoid (M; ·) se nazývá asociativní, právě když (∀x,y,z ∈ M)(x·y)·z = x·(y·z) - tj. operace na něm definovaná je asociativní. Pokud je grupoid asociativní, nazývá se pologrupa.
Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s neutrálním prvkem, právě když (∃e ∈ M)(∀x ∈ M) e·x = x·e = x - tj. operace na něm definovaná má neutrální prvek.
- Jde-li o operaci násobení (tj. multiplikativní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme jednotkový prvek a značíme: 1. Jde-li o operaci sčítání (tj. aditivní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme nulový prvek a značíme: 0.
Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s inverzními prvky, právě když 1 ∈ M ∧ (∀x ∈ M)(∃y ∈ M) x·y = y·x = 1 - tj. obsahuje jednotkový prvek a ke každému prvku také inverzní prvek.
Grupoid (M; ·) se nazývá komutativní, právě když (∀x,y ∈ M)x·y = y·x - tj. operace na něm definovaná je komutativní.
Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zleva, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y).
Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zprava, právě když (∀x,y,z ∈ M) (x·z = y·z ⇒ x = y).
Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y) ∧ (x·z = y·z ⇒ x = y).
Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s dělením, právě když (∀x,y ∈ M)(∃u,v ∈ M) (x·u = y ∧ v·x = y).

Související články

Pologrupa – grupoid, jehož operace je asociativní
Monoid – grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek
Grupa – monoid rozšířený o inverzní operaci

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii