V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.

Kosinus

Z Multimediaexpo.cz

Graf funkce kosinus

Kosinus je goniometrická funkce.

Pro označení této funkce se obvykle používá značka cos doplněná značkou nezávisle proměnné (zpravidla úhlu).

pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr přilehlé odvěsny a přepony. Definici lze konzistentně rozšířit jak na celá reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.

Grafem kosinu v reálném oboru je kosinusoida (posunutá sinusoida).

Obsah

Kosinus na jednotkové kružnici

Kosinus α na jednotkové kružnici

Kosinus se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li α úhel, který má počáteční rameno v kladné poloose x a je orientovaný od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), je cos α roven x-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu α, jinak řečeno, rovná se (v absolutní hodnotě) délce úsečky z počátku k patě kolmice spuštěné z tohoto průsečíku na osu x. Délce této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) y-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu α, je pak roven sin α.

Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí Pythagorova věta, takže platí:

(sin α)2 + (cos α)2 = 1.

Na jednotkové kružnici je také vidět, že kosinus je v prvním a čtvrtém kvadrantu nezáporný (≥ 0), kdežto ve druhém a třetím nekladný (≤ 0). V prvním a druhém kvadrantu je klesající, ve třetím a čtvrtém rostoucí.

Orientovaný úhel lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem \(\alpha+k \cdot 2\pi\) v úhlové míře resp. \(\alpha+k \cdot 360^\circ\) v míře stupňové, kde \(k\) je celé číslo. Kosinus lze tedy konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel:

Kosinus v reálném oboru

Funkce \(y=\cos x\,\!\) má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo):

Kosinus v komplexním oboru

Funkce kosinus je v komplexních číslech definována součtem řady

\(\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}\)

která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá dvě komplexní čísla z1,z2 platí:

\(\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\)
\(\cos\left(z_1+z_2\right)=\cos z_1 \cos z_2 - \sin z_1 \sin z_2,\)
\(\cos iz = \cosh z,\,\)

Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Kosinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Kosinus