Inverzní prvek

Z Multimediaexpo.cz

V algebře značí inverzní prvek k prvku x vzhledem k operaci *, takový prvek y, pro který se x*y rovná neutrálnímu prvku.

Prvek se nazývá invertibilní, existuje-li pro něj inverzní prvek.

Příklady

• Pokud (S,+) jsou reálná čísla se sčítáním, tak existuje inverzní prvek ke všem prvkům a nazývá se opačné číslo a značí (− x).
• Pokud (S,*) jsou reálná čísla s násobením, tak existuje inverzní prvek ke všem prvkům kromě nuly a nazývá se převrácená hodnota a značí (1/x).
• Pokud (S,*) jsou n-rozměrné čtvercové matice s násobením, tak jsou invertibilní právě tehdy, je-li její determinant nenulový (tedy jedná se regulární matice).

Formální definice

Buď S množina s binární operací *. Pokud e ∈ S je neutrální prvek (S,*) a pro nějaké a, b ∈ S platí, že a * b = e, tak se a nazývá levá inverze prvku b a b se nazývá pravá inverze prvku a. Pokud je prvek x pravou i levou inverzí prvku y, nazývá se inverze prvku y, nebo též inverzním prvkem prvku y.

Prvek může mít několik levých či několik pravých inverzí. Může mít dokonce oboje zároveň.

Pokud je ale operace asociativní, platí, že má-li prvek levou a pravou inverzi, jsou si obě rovny a jsou dány jednoznačně.

Struktury s jednou binární operací
	Asociativita	Neutrální prvek	Inverzní prvek
Grupa
Monoid
Pologrupa
Lupa
Kvazigrupa
Grupoid

Související články

• Neutrální prvek
• Grupa