Elementární funkce

Z Multimediaexpo.cz

Elementární funkce je typem funkce, kterou lze získat konečným počtem sečtením, odečtením, vynásobením, podělením a složením z exponenciální, logaritmické, konstantní, mocninné, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrická funkce. Funkce, které nelze vyjádřit prostřednictvím konečného počtu elementárních funkcí, se označují jako vyšší transcendentní funkce.

Jedná se tedy o algebraické funkce a dále o skupinu transcendentních funkcí, označovaných také jako nižší transcendentní funkce. Elementární jsou tedy ty funkce, se kterými se lidé obvykle seznamují v rámci středoškolské matematiky, a které si proto zvykli vnímat jako "základní".

Neboť goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrická funkce, stejně jako obecnou mocninu, lze v komplexním oboru vyjádřit pomocí exponenciály a logaritmu, tak se někdy v úvodní definici mluví jen o exponenciále, logaritmu a konstantě.

Příklady

  • \(\frac{e^{\tan(x)}}{1+x^2}\sin\left(\sqrt{1+\ln^2 x}\,\right)</math>
  • \( \,\ln(-x^2). </math>
  • Příkladem funkce, která není elementární je chybová funkce. \(\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt,</math>

Vlastnosti

Z čistě matematického hlediska nemají žádný jednotný charakter. Ale přesto existují určité společné vlastnosti.

  • Všechny elementární jsou diferencovatelné na svém definičním oboru kromě případných izolovaných bodů.
  • Neboť jsou spojité na každém vnitřním intervalu definičního oboru, tak na těchto intervalech existuje i primitivní funkce (jsou integrovatelné).

Příklad: Mějme funkci \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},~f(x) = \sqrt{\sin^2(x)} = \left|\sin(x)\right|</math>. Tato funkce je diferencovatelná všude kromě bodů \(x = k\pi\,</math>, kde \(k\,</math> je celé číslo. Primitivní funkce také zjevně existuje.

Externí odkazy


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Element%C3%A1rn%C3%AD_funkce“