Eisensteinovo kritérium

Z Multimediaexpo.cz

Eisensteinovo kritérium nerozložitelnosti je v matematice, zejména v jejím podoboru algebře, postačující, ale nikoliv nutnou podmínkou pro nerozložitelnost polynomu s celočíselnými koeficienty v racionálních číslech.

Kritérium je pojmenováno po německém matematikovi Gottholdu Eisensteinovi, který jej zveřejnil v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik v roce 1850. Někdy se také nazývá Schönemannovo kritérium nebo Eisensteinovo-Schönemannovo kritérium, protože německý matematik Theodor Schönemann zveřejnil ve stejném časopise jinou formulaci tohoto kritéria už v roce 1846.

Obsah 1 Moderní formulace kritéria 1.1 Celočíselné polynomy 1.2 Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty 1.3 Zobecnění pro gaussovské obory 1.4 Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů 2 Reference

Moderní formulace kritéria

Celočíselné polynomy

Nechť je <math>f(x)</math> mnohočlen stupně <math>n</math> s koeficienty z oboru celých čísel, tedy <math>f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math>, a nechť existuje prvočíslo <math>p</math> takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho čtverec také nedělí konstantní koeficient, tedy:

• <math>p \mid a_i</math> pro všechna <math>i < n</math>,
• <math>p^2 \nmid a_0</math> a
• <math>p \nmid a_n</math>,

pak je mnohočlen <math>f(x)</math> ireducibilní v oboru <math>\mathbb{Q}[x]</math>, tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.^[1]

Jiná možná formulace podmínky ohledně dělitelnosti vedoucího koeficientu uvažuje pouze normovaný polynom, tedy s vedoucím koeficientem rovným jedné.^[2]

Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty

Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny zlomky: Nechť je <math>f(x)=\frac{b_n}{c_n}x^n+\cdots+\frac{b_1}{c_1}x+\frac{b_0}{c_0}</math>, kde zlomky jsou v základním tvaru, tedy největší společný dělitel <math>NSD(b_i,c_i)</math> je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo <math>p</math> takové, že

• <math>p</math> dělí <math>b_k</math> pro <math>k\le n</math>,
• <math>p</math> nedělí <math>b_n</math> a <math>c_n</math> a
• <math>p^2</math> nedělí <math>b_0</math>.

Pak je <math>f(x)</math> nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.^[3]

Zobecnění pro gaussovské obory

Nechť je <math>R</math> Gaussův obor integrity a <math>f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math> mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu <math>R[x]</math>. Pak pokud je <math>f(x)</math> primitivní a existuje ireducibilní prvek <math>p\in R</math> splňující

• <math>p \mid a_i</math> pro všechna <math>i<n</math>,
• <math>p^2 \nmid a_0</math> a

pak je polynom <math>f(x)</math> v <math>R[x]</math> ireducibilní.^[4]

Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů

Nechť je <math>R</math> obor integrity a <math>f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math> mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu <math>R[x]</math>. Pokud existuje v oboru <math>R</math> prvoideál <math>P</math> takový, že

• <math>a_i \in P</math> pro všechna <math>i < n </math>,
• <math>a_n\notin P</math> a
• <math>a_0 \notin P^2</math> (<math>P^2</math> je součin ideálu <math>P</math> s ním samým),

pak nelze zapsat <math>f(x)</math> jako součin dvou nekonstantních polynomů v <math>R[x]</math>. Je-li navíc <math>f(x)</math> primitivním polynomem, tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v <math>R[x]</math>. Pokud je <math>R</math> Gaussův obor integrity a jeho podílovým tělesem je <math>T</math>, pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z <math>R</math> jsou v <math>T</math> jednotkami).

Reference

1. ↑ VLADIMÍR, Kořínek. Základy algebry. Praha : Nakladatelství Československé akademie věd, 1953.  
2. ↑ MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett. Algebra. Překlad Anton Legéň, Jaroslav Smítal. Bratislava : Alfa, 1974. (slovensky) 
3. ↑ HANČL, Jaroslav; NOVOTNÝ, Lukáš; ŠUSTEK, Jan. 21. ročník Mezinárodní matematické soutěže Vojtěcha Jarníka. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 2011, roč. 56, čís. 3. Dostupné online.  
4. ↑ STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha : Matfyzpress, 2010. ISBN 978-80-7378-105-7.  

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii