Kužel

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
Řádka 7: Řádka 7:
== Kuželová plocha a prostor ==
== Kuželová plocha a prostor ==
[[Soubor:kuzelovy_prostor.png|thumb|Kuželový prostor.]]
[[Soubor:kuzelovy_prostor.png|thumb|Kuželový prostor.]]
-
Mějme jednoduchou uzavřenou [[křivka|křivku]] <math>k</math>, která leží v [[rovina|rovině]]. [[Bod]]y, které leží [[přímka|přímkách]] procházejících libovolným bodem křivky <math>k</math> a bodem <math>V</math> ležícím mimo rovinu křivky <math>k</math> tvoří '''kuželovou plochu'''. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá '''kuželový prostor'''.
+
Mějme jednoduchou uzavřenou [[křivka|křivku]] <big>\(k</math>, která leží v [[rovina|rovině]]. [[Bod]]y, které leží [[přímka|přímkách]] procházejících libovolným bodem křivky <big>\(k</math> a bodem <big>\(V</math> ležícím mimo rovinu křivky <big>\(k</math> tvoří '''kuželovou plochu'''. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá '''kuželový prostor'''.
Kuželová plocha je [[množina]] bodů v [[prostor (geometrie)|prostoru]], která vznikne z kužele tím, že odstraním podstavu a každou [[úsečka|úsečku]] pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužím na [[přímka|přímku]]. Nejlepší představa je taková ,že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.
Kuželová plocha je [[množina]] bodů v [[prostor (geometrie)|prostoru]], která vznikne z kužele tím, že odstraním podstavu a každou [[úsečka|úsečku]] pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužím na [[přímka|přímku]]. Nejlepší představa je taková ,že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.
=== Rovnice ===
=== Rovnice ===
-
'''Kuželová plocha''' ('''[[kvadratická plocha|kvadratický]] kužel''') s vrcholem v počátku, která v [[rovina|rovině]] <math>z=c</math> prochází [[elipsa|elipsou]] <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> (tzv. ''[[řídící křivka]]''), má [[rovnice|rovnici]]
+
'''Kuželová plocha''' ('''[[kvadratická plocha|kvadratický]] kužel''') s vrcholem v počátku, která v [[rovina|rovině]] <big>\(z=c</math> prochází [[elipsa|elipsou]] <big>\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> (tzv. ''[[řídící křivka]]''), má [[rovnice|rovnici]]
-
:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0</math>
+
:<big>\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0</math>
[[přímka|Přímky]], které tvoří povrch kužele se nazývají ''[[tvořící přímka|tvořící přímky]]''.
[[přímka|Přímky]], které tvoří povrch kužele se nazývají ''[[tvořící přímka|tvořící přímky]]''.
Tato plocha je ''[[asymptotická plocha|asymptotickou plochou]]'' (''asymptotickým kuželem'') [[hyperboloid|hyperboloidů]]
Tato plocha je ''[[asymptotická plocha|asymptotickou plochou]]'' (''asymptotickým kuželem'') [[hyperboloid|hyperboloidů]]
-
:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1</math>
+
:<big>\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1</math>
-
Pro <math>a=b</math> jde o rotační kužel s osou rotace <math>z</math>.
+
Pro <big>\(a=b</math> jde o rotační kužel s osou rotace <big>\(z</math>.
-
Kuželovou plochu s vrcholem v bodě <math>[x_0,y_0,z_0]</math> je vždy možné vyjádřit rovnicí
+
Kuželovou plochu s vrcholem v bodě <big>\([x_0,y_0,z_0]</math> je vždy možné vyjádřit rovnicí
-
:<math>F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0</math>
+
:<big>\(F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0</math>
== Vlastnosti ==
== Vlastnosti ==
Pro [[objem]] kužele platí
Pro [[objem]] kužele platí
-
:<math>V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v</math>,
+
:<big>\(V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v</math>,
-
kde <math>S_p</math> je [[obsah]] podstavy a <math>v</math> je výška kužele.
+
kde <big>\(S_p</math> je [[obsah]] podstavy a <big>\(v</math> je výška kužele.
== Rotační kužel ==
== Rotační kužel ==
[[Soubor:Cone (geometry).png|thumb|Rotační kužel.]]
[[Soubor:Cone (geometry).png|thumb|Rotační kužel.]]
'''Rotační kužel''' je [[rotace (geometrie)|rotační]] [[těleso (geometrie)|těleso]] vzniklé otáčením [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlého trojúhelníku]] v [[prostor (geometrie)|prostoru]] okolo jedné z [[odvěsna|odvěsen]]. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová '''podstava kužele''' (někdy také nazývaná jako '''základna kužele'''), otáčením [[přepona|přepony]] pak '''kuželová plocha''' nebo jinak '''plášť kužele'''. Tento plášť je v podstatě „stočená“ [[kruhová výseč]], jejíž úhel záleží na poměru výšky kužele a [[poloměr]]u podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme '''vrchol kužele'''.
'''Rotační kužel''' je [[rotace (geometrie)|rotační]] [[těleso (geometrie)|těleso]] vzniklé otáčením [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlého trojúhelníku]] v [[prostor (geometrie)|prostoru]] okolo jedné z [[odvěsna|odvěsen]]. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová '''podstava kužele''' (někdy také nazývaná jako '''základna kužele'''), otáčením [[přepona|přepony]] pak '''kuželová plocha''' nebo jinak '''plášť kužele'''. Tento plášť je v podstatě „stočená“ [[kruhová výseč]], jejíž úhel záleží na poměru výšky kužele a [[poloměr]]u podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme '''vrchol kužele'''.
=== Vlastnosti ===
=== Vlastnosti ===
-
Označíme-li <math>r</math> [[poloměr]] kruhové podstavy kužele a <math>h</math> výšku kužele (t.j. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:
+
Označíme-li <big>\(r</math> [[poloměr]] kruhové podstavy kužele a <big>\(h</math> výšku kužele (t.j. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:
* poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]] jako
* poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]] jako
-
:<math> s = \sqrt{r^2 + h^2} \,\! </math>
+
:<big>\( s = \sqrt{r^2 + h^2} \,\! </math>
* [[objem]] kužele jako
* [[objem]] kužele jako
-
:<math> V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\! </math>
+
:<big>\( V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\! </math>
-
* [[povrch]] kužele jako [[součet]] [[obsah]]u podstavy <math> S_p = \pi r^2 \,\! </math> a obsahu pláště <math> S_{pl} = \pi r s \,\! </math>  
+
* [[povrch]] kužele jako [[součet]] [[obsah]]u podstavy <big>\( S_p = \pi r^2 \,\! </math> a obsahu pláště <big>\( S_{pl} = \pi r s \,\! </math>  
-
:<math> S = S_p + S_{pl} = \pi r (r + s) \,\! </math>
+
:<big>\( S = S_p + S_{pl} = \pi r (r + s) \,\! </math>
* [[symetrie|Symetrické]] vlastnosti
* [[symetrie|Symetrické]] vlastnosti
** Kužel není [[Středová souměrnost|středově souměrný]].
** Kužel není [[Středová souměrnost|středově souměrný]].

Verze z 14. 8. 2022, 14:49

Broom icon.png Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.
Broom icon.png
Obecný kužel.
Rotační kužel (vlevo) a kosý kužel (vpravo).

Kužel je oblé těleso, které získáme jako průnik kuželového prostoru a rovinné vrstvy. Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele je označována jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava. Plášť kužele a podstavu nazýváme společným názvem povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmou vzdálenost mezi podstavou a vrcholem nazýváme výškou kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště nazýváme stranou kužele. Je-li podstavou kužele kruh, pak jej označíme jako kruhový. Pokud kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, pak kužel označujeme jako rotační kužel nebo kolmý kruhový kužel. Pokud kruhový kužel není kolmý, pak jej označujeme jako kosý.

Obsah

[skrýt]

Kuželová plocha a prostor

Kuželový prostor.

Mějme jednoduchou uzavřenou křivku \(k</math>, která leží v rovině. Body, které leží přímkách procházejících libovolným bodem křivky \(k</math> a bodem \(V</math> ležícím mimo rovinu křivky \(k</math> tvoří kuželovou plochu. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá kuželový prostor. Kuželová plocha je množina bodů v prostoru, která vznikne z kužele tím, že odstraním podstavu a každou úsečku pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužím na přímku. Nejlepší představa je taková ,že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.

Rovnice

Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině \(z=c</math> prochází elipsou \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> (tzv. řídící křivka), má rovnici

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0</math>

Přímky, které tvoří povrch kužele se nazývají tvořící přímky. Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1</math>

Pro \(a=b</math> jde o rotační kužel s osou rotace \(z</math>. Kuželovou plochu s vrcholem v bodě \([x_0,y_0,z_0]</math> je vždy možné vyjádřit rovnicí

\(F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0</math>

Vlastnosti

Pro objem kužele platí

\(V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v</math>,

kde \(S_p</math> je obsah podstavy a \(v</math> je výška kužele.

Rotační kužel

Rotační kužel.

Rotační kužel je rotační těleso vzniklé otáčením pravoúhlého trojúhelníku v prostoru okolo jedné z odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele (někdy také nazývaná jako základna kužele), otáčením přepony pak kuželová plocha nebo jinak plášť kužele. Tento plášť je v podstatě „stočená“ kruhová výseč, jejíž úhel záleží na poměru výšky kužele a poloměru podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme vrchol kužele.

Vlastnosti

Označíme-li \(r</math> poloměr kruhové podstavy kužele a \(h</math> výšku kužele (t.j. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:

  • poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí Pythagorovy věty jako
\( s = \sqrt{r^2 + h^2} \,\! </math>
\( V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\! </math>
  • povrch kužele jako součet obsahu podstavy \( S_p = \pi r^2 \,\! </math> a obsahu pláště \( S_{pl} = \pi r s \,\! </math>
\( S = S_p + S_{pl} = \pi r (r + s) \,\! </math>

Kuželosečky

Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou. Singulární řezy kužele - pokud rovina řezu prochází vrcholem kužele, mohou nastat tři případy:

  • průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
  • průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
  • průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

Regulární řezy kužele - pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:

  • průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele
  • průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele
  • průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
  • průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

To je důvod, proč jsou elipsa, parabola a hyperbola nazývány souhrnně kuželosečkami. Kuželosečky

Související články