Rovina

Z Multimediaexpo.cz

Rovina je v matematice dvourozměrný geometrický útvar, který si lze představit jako neomezenou dokonale rovnou plochu. Algebraicky vyjádřeno, jde o množinu bodů izomorfní s dvoudimenzionálním lineárním prostorem. Rovina může být určena třemi různými body, nebo přímkou a bodem, který leží mimo tuto přímku.

Obsah [skrýt] 1 Značení 2 Rovnice roviny 2.1 Obecná rovnice roviny 2.2 Parametrické vyjádření roviny 2.3 Úseková rovnice roviny 2.4 Normálová rovnice roviny 3 Rovinný řez 4 Související články

Značení

Rovina je buď plocha, na kterou se kreslí (nákresna), nebo se znázorňuje některým rovinným útvarem pomocí některého geometrických promítání. Rovina se označuje malým řeckým písmenem.

Znázornění:

Rovnice roviny

Rovina je množina bodů prostoru, které vyhovují tzv. rovnici roviny, která může být zadána v různých tvarech.

Obecná rovnice roviny

Obecná rovnice roviny má tvar

$ax+by+cz+d=0$,

kde koeficienty $a,b,c$ nejsou současně nulové a jsou to koeficienty normálového vektoru roviny (vektoru kolmého k rovině). Proměnné $x,y,z$ jsou souřadnice bodu ležícího v rovině. V případě, že známe tři body $K,L,M$ určující rovinu, obecnou rovnici roviny získáme takto: spočteme vektory $\overrightarrow{KL}$ a $\overrightarrow{KM}$, vypočítáme jejich Vektorový součin ze kterého získáme koeficienty $a,b,c$ a napíšeme obecnou rovnici. Zbývající koeficient d získáme tak, že dosadíme souřadnice bodu K (nebo kteréhokoli jiného bodu ze zadání) do napsané rovnice.

Parametrické vyjádření roviny

Parametrické vyjádření roviny má například vektorový tvar $X=A+tu+sv$, který se dá rozepsat dle složek takto:

$x=A_1+t{u}_1+s{v}_1$

$y=A_2+t{u}_2+s{v}_2$

$z=A_3+t{u}_3+s{v}_3$,

kde $s,t\in R$ a $X$ je bod, který leží v rovině a vektory $u$ a $v$ jsou nekolineární vektory ležící v rovině, tzn. jsou to směrové vektory roviny.

Úseková rovnice roviny

Úsekovou rovnici roviny zapisujeme jako

$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1$,

kde $p,q,r$ vymezují úseky vyťaté rovinou na osách $x,y,z$. Srovnáním úsekové a obecné rovnice dostáváme $p=-\frac{d}{a},q=-\frac{d}{b},r=-\frac{d}{c}$.

Normálová rovnice roviny

Normálová rovnice roviny má tvar

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma +p=0$,

kde $p$ je vzdálenost počátku souřadného systému od roviny, tj. délka normály od počátku souřadnicového systému do průsečíku s rovinou,
$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ jsou směrové kosiny roviny,
$\alpha ,\beta ,\gamma$ představují úhly, které svírají kladné souřadnicové poloosy s normálou roviny.
Normála je směrnice kolmá ve všech směrech k rovině.
Směrové kosiny lze vyjádřit z obecné rovnice jako

$\cos \alpha =\frac{a}{\epsilon \sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

$\cos \beta =\frac{b}{\epsilon \sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

$\cos \gamma =\frac{c}{\epsilon \sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

kde $\epsilon =1$ pro $\mathrm{sgn}(p)=-1$ a pro $\epsilon =-1$ pro $\mathrm{sgn}(p)=1$.

Rovinný řez

Rovinným řezem geometrického útvaru $U$ rovinou $\rho$ se nazývá průnik roviny $\rho$ a útvaru $U$. Rovinný řez plochy rovinou, ve které leží normála plochy, se nazývá normálovým řezem plochy.

Související články

• Geometrie
• Základní geometrické útvary
• Polorovina
• Vzájemná poloha bodu a roviny
• Vzájemná poloha rovin
• Vzájemná poloha přímky a roviny

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii