Eisensteinovo kritérium

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

Eisensteinovo kritérium nerozložitelnosti je v matematice, zejména v jejím podoboru algebře, postačující, ale nikoliv nutnou podmínkou pro nerozložitelnost polynomu s celočíselnými koeficienty v racionálních číslech.

Kritérium je pojmenováno po německém matematikovi Gottholdu Eisensteinovi, který jej zveřejnil v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik v roce 1850. Někdy se také nazývá Schönemannovo kritérium nebo Eisensteinovo-Schönemannovo kritérium, protože německý matematik Theodor Schönemann zveřejnil ve stejném časopise jinou formulaci tohoto kritéria už v roce 1846.

Moderní formulace kritéria

Celočíselné polynomy

Nechť je \(f(x)</math> mnohočlen stupně \(n</math> s koeficienty z oboru celých čísel, tedy \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math>, a nechť existuje prvočíslo \(p</math> takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho čtverec také nedělí konstantní koeficient, tedy:

\(p \mid a_i</math> pro všechna \(i < n</math>,
\(p^2 \nmid a_0</math> a
\(p \nmid a_n</math>,

pak je mnohočlen \(f(x)</math> ireducibilní v oboru \(\mathbb{Q}[x]</math>, tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.^[1]

Jiná možná formulace podmínky ohledně dělitelnosti vedoucího koeficientu uvažuje pouze normovaný polynom, tedy s vedoucím koeficientem rovným jedné.^[2]

Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty

Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny zlomky: Nechť je \(f(x)=\frac{b_n}{c_n}x^n+\cdots+\frac{b_1}{c_1}x+\frac{b_0}{c_0}</math>, kde zlomky jsou v základním tvaru, tedy největší společný dělitel \(NSD(b_i,c_i)</math> je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo \(p</math> takové, že

\(p</math> dělí \(b_k</math> pro \(k\le n</math>,
\(p</math> nedělí \(b_n</math> a \(c_n</math> a
\(p^2</math> nedělí \(b_0</math>.

Pak je \(f(x)</math> nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.^[3]

Zobecnění pro gaussovské obory

Nechť je \(R</math> Gaussův obor integrity a \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math> mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu \(R[x]</math>. Pak pokud je \(f(x)</math> primitivní a existuje ireducibilní prvek \(p\in R</math> splňující

\(p \mid a_i</math> pro všechna \(i<n</math>,
\(p^2 \nmid a_0</math> a

pak je polynom \(f(x)</math> v \(R[x]</math> ireducibilní.^[4]

Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů

Nechť je \(R</math> obor integrity a \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math> mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu \(R[x]</math>. Pokud existuje v oboru \(R</math> prvoideál \(P</math> takový, že

\(a_i \in P</math> pro všechna \(i < n </math>,
\(a_n\notin P</math> a
\(a_0 \notin P^2</math> (\(P^2</math> je součin ideálu \(P</math> s ním samým),

pak nelze zapsat \(f(x)</math> jako součin dvou nekonstantních polynomů v \(R[x]</math>. Je-li navíc \(f(x)</math> primitivním polynomem, tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v \(R[x]</math>. Pokud je \(R</math> Gaussův obor integrity a jeho podílovým tělesem je \(T</math>, pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z \(R</math> jsou v \(T</math> jednotkami).

Reference

↑ VLADIMÍR, Kořínek. Základy algebry. Praha : Nakladatelství Československé akademie věd, 1953.
↑ MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett. Algebra. Překlad Anton Legéň, Jaroslav Smítal. Bratislava : Alfa, 1974. (slovensky)
↑ HANČL, Jaroslav; NOVOTNÝ, Lukáš; ŠUSTEK, Jan. 21. ročník Mezinárodní matematické soutěže Vojtěcha Jarníka. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 2011, roč. 56, čís. 3. Dostupné online.
↑ STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha : Matfyzpress, 2010. ISBN 978-80-7378-105-7.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[Ko.C5.99.C3.ADnek-0] VLADIMÍR, Kořínek. Základy algebry. Praha : Nakladatelství Československé akademie věd, 1953.

[MacLane_Birkhoff-1] MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett. Algebra. Překlad Anton Legéň, Jaroslav Smítal. Bratislava : Alfa, 1974. (slovensky)

[2] HANČL, Jaroslav; NOVOTNÝ, Lukáš; ŠUSTEK, Jan. 21. ročník Mezinárodní matematické soutěže Vojtěcha Jarníka. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 2011, roč. 56, čís. 3. Dostupné online.

[Stanovsk.C3.BD-3] STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha : Matfyzpress, 2010. ISBN 978-80-7378-105-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Řádka 6: / Řádka 6: @@
 === Celočíselné polynomy ===
-Nechť je <math>f(x)</math> [[polynom|mnohočlen]] [[stupeň polynomu|stupně]] <math>n</math> s koeficienty z oboru [[celé číslo|celých čísel]], tedy <math>f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math>, a nechť existuje [[prvočíslo]] <math>p</math> takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho [[čtverec (číslo)|čtverec]] také nedělí konstantní koeficient, tedy:
+Nechť je <big>\(f(x)</math> [[polynom|mnohočlen]] [[stupeň polynomu|stupně]] <big>\(n</math> s koeficienty z oboru [[celé číslo|celých čísel]], tedy <big>\(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math>, a nechť existuje [[prvočíslo]] <big>\(p</math> takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho [[čtverec (číslo)|čtverec]] také nedělí konstantní koeficient, tedy:
-* <math>p \mid a_i</math> pro všechna <math>i < n</math>,
+* <big>\(p \mid a_i</math> pro všechna <big>\(i < n</math>,
-* <math>p^2 \nmid a_0</math> a
+* <big>\(p^2 \nmid a_0</math> a
-* <math>p \nmid a_n</math>,
+* <big>\(p \nmid a_n</math>,
-pak je mnohočlen <math>f(x)</math> [[ireducibilní polynom|ireducibilní]] v oboru <math>\mathbb{Q}[x]</math>, tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.<ref name="Kořínek"> {{Citace monografie
+pak je mnohočlen <big>\(f(x)</math> [[ireducibilní polynom|ireducibilní]] v oboru <big>\(\mathbb{Q}[x]</math>, tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.<ref name="Kořínek"> {{Citace monografie
   | příjmení = Vladimír
   | jméno = Kořínek
@@ Řádka 41: / Řádka 41: @@
 === Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty ===
-Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny [[zlomek|zlomky]]: Nechť je <math>f(x)=\frac{b_n}{c_n}x^n+\cdots+\frac{b_1}{c_1}x+\frac{b_0}{c_0}</math>, kde zlomky jsou v [[základní tvar zlomku|základním tvaru]], tedy [[největší společný dělitel]] <math>NSD(b_i,c_i)</math> je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo <math>p</math> takové, že
+Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny [[zlomek|zlomky]]: Nechť je <big>\(f(x)=\frac{b_n}{c_n}x^n+\cdots+\frac{b_1}{c_1}x+\frac{b_0}{c_0}</math>, kde zlomky jsou v [[základní tvar zlomku|základním tvaru]], tedy [[největší společný dělitel]] <big>\(NSD(b_i,c_i)</math> je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo <big>\(p</math> takové, že
-* <math>p</math> dělí <math>b_k</math> pro <math>k\le n</math>,
+* <big>\(p</math> dělí <big>\(b_k</math> pro <big>\(k\le n</math>,
-* <math>p</math> nedělí <math>b_n</math> a <math>c_n</math> a
+* <big>\(p</math> nedělí <big>\(b_n</math> a <big>\(c_n</math> a
-* <math>p^2</math> nedělí <math>b_0</math>.
+* <big>\(p^2</math> nedělí <big>\(b_0</math>.
-Pak je <math>f(x)</math> nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.<ref>{{Citace periodika
+Pak je <big>\(f(x)</math> nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.<ref>{{Citace periodika
   | příjmení = Hančl
   | jméno = Jaroslav
@@ Řádka 65: / Řádka 65: @@
 === Zobecnění pro gaussovské obory ===
-Nechť je <math>R</math> [[Gaussův obor integrity]] a <math>f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math> mnohočlen z jeho [[polynomiální okruh|polynomiálního okruhu]] <math>R[x]</math>. Pak pokud je <math>f(x)</math> [[primitivní polynom|primitivní]] a existuje [[ireducibilní prvek]] <math>p\in R</math> splňující
+Nechť je <big>\(R</math> [[Gaussův obor integrity]] a <big>\(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math> mnohočlen z jeho [[polynomiální okruh|polynomiálního okruhu]] <big>\(R[x]</math>. Pak pokud je <big>\(f(x)</math> [[primitivní polynom|primitivní]] a existuje [[ireducibilní prvek]] <big>\(p\in R</math> splňující
-* <math>p \mid a_i</math> pro všechna <math>i<n</math>,
+* <big>\(p \mid a_i</math> pro všechna <big>\(i<n</math>,
-* <math>p^2 \nmid a_0</math> a
+* <big>\(p^2 \nmid a_0</math> a
-pak je polynom <math>f(x)</math> v <math>R[x]</math> ireducibilní.<ref name="Stanovský">{{Citace monografie
+pak je polynom <big>\(f(x)</math> v <big>\(R[x]</math> ireducibilní.<ref name="Stanovský">{{Citace monografie
   | příjmení = Stanovský
   | jméno = David
@@ Řádka 86: / Řádka 86: @@
 === Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů ===
-Nechť je <math>R</math> [[obor integrity]] a <math>f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math> mnohočlen z jeho [[polynomiální okruh|polynomiálního okruhu]] <math>R[x]</math>. Pokud existuje v oboru <math>R</math> [[prvoideál (teorie okruhů)|prvoideál]] <math>P</math> takový, že
+Nechť je <big>\(R</math> [[obor integrity]] a <big>\(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0</math> mnohočlen z jeho [[polynomiální okruh|polynomiálního okruhu]] <big>\(R[x]</math>. Pokud existuje v oboru <big>\(R</math> [[prvoideál (teorie okruhů)|prvoideál]] <big>\(P</math> takový, že
-* <math>a_i \in P</math> pro všechna <math>i < n </math>,
+* <big>\(a_i \in P</math> pro všechna <big>\(i < n </math>,
-* <math>a_n\notin P</math> a
+* <big>\(a_n\notin P</math> a
-* <math>a_0 \notin P^2</math> (<math>P^2</math> je [[součin ideálů|součin ideálu]] <math>P</math> s ním samým),
+* <big>\(a_0 \notin P^2</math> (<big>\(P^2</math> je [[součin ideálů|součin ideálu]] <big>\(P</math> s ním samým),
-pak nelze zapsat <math>f(x)</math> jako součin dvou nekonstantních polynomů v <math>R[x]</math>. Je-li navíc <math>f(x)</math> [[primitivní polynom|primitivním polynomem]], tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v <math>R[x]</math>. Pokud je <math>R</math> [[Gaussův obor integrity]] a jeho [[podílové těleso|podílovým tělesem]] je <math>T</math>, pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z <math>R</math> jsou v <math>T</math> jednotkami).
+pak nelze zapsat <big>\(f(x)</math> jako součin dvou nekonstantních polynomů v <big>\(R[x]</math>. Je-li navíc <big>\(f(x)</math> [[primitivní polynom|primitivním polynomem]], tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v <big>\(R[x]</math>. Pokud je <big>\(R</math> [[Gaussův obor integrity]] a jeho [[podílové těleso|podílovým tělesem]] je <big>\(T</math>, pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z <big>\(R</math> jsou v <big>\(T</math> jednotkami).
 == Reference ==