Teorie grup

Z Multimediaexpo.cz

Teorie grup je matematická disciplína zabývající se studiem grup. Je podoborem algebry. Má mnoho aplikací v celé matematice i v dalších oborech – fyzice, informatice či chemii.

Obsah [skrýt] 1 Historie 2 Grupa 3 Důležité věty teorie grup 3.1 Související články 4 Literatura

Historie

Počátky teorie grup sahají do posledních let 18. a počátku 19. století, kdy se začala vyvíjet jako důsledek rozvoje teorie algebraických rovnic, teorie čísel a geometrie. Prvními matematiky, kteří se zabývali touto oblastí byli Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel a Évariste Galois.

Moderní definici grupy podal roku 1882 – Walther von Dyck.

Grupa

Související informace můžete najít také v článku: Grupa

Grupa je základním pojmem teorie grup. Je definována jako množina $\mathbb{G}$ spolu s binární operací $\cdot$ splňující tři grupové axiomy:

Asociativita:	$f\cdot (g\cdot h)=(f\cdot g)\cdot h$
Existence neutrálního prvku:	$(\mathrm{\exists }e)(\mathrm{\forall }g)g\cdot e=e\cdot g=g$
Existence inverzních prvků:	$(\mathrm{\forall }g)(\mathrm{\exists }h)g\cdot h=h\cdot g=e$

Důležité věty teorie grup

• Lagrangeova věta: Je-li G konečná grupa a H její podgrupa, pak řád H dělí řád G.
• Cayleyho věta: Každá grupa G je izomorfní podgrupě grupy permutací na G (symetrické grupě).
• Sylowovy věty: Popisují existenci a vlastnosti p-podgrup konečné grupy.
• Věta o homomorfismu: Dává do souvislosti dvě grupy, mezi nimiž je homomorfismus, s jeho jádrem a obrazem.
• Jordan-Hölderova věta: Každé dvě kompoziční řady dané grupy jsou izomorfní.
• Krull-Schmidtova věta: Stanovuje podmínky pro to, aby grupa G byla konečným součinem svých nerozložitelných podgrup.
• Burnsidovo lemma: Počet orbit akce grupy na množinu se rovná průměrnému počtu bodů fixovaných jednotlivými prvky grupy.
• Klasifikace konečně generovaných abelovských grup: Každá konečně generovaná abelovská grupa je jednoznačně vyjádřitelná jako direktní suma cyklických grup řádu nekonečného nebo mocniny prvočísla.
• Klasifikace konečných jednoduchých grup: Jeden z vrcholných výsledků matematiky 20. století.

Související články

• Grupa
• Teorie těles
• Teorie okruhů

Literatura

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii