The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 24, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).
Lagrangeova věta (teorie grup)
Z Multimediaexpo.cz
Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7.
Věta nese jméno významného francouzského matematika a astronoma Josepha-Louis Lagrange (* 25. ledna 1736, † 10. dubna 1813).
Přesné znění
Pro grupu G a její podgrupu H platí:
- \(|G|=[G:H]\cdot |H|\), kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy (počet levých cosetů H v G).
Důkaz
Nejprve ukážeme, že levé cosety \(gH=\{gh;\;h\in H\}\) tvoří dohromady pro \(\forall g \in G\) rozklad množiny G. Protože \(x\cdot e=x\in xH\), nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky G. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak \(xH \cap yH\ne\emptyset\) pro nějaké \(x,y\in G\). Jinými slovy pro nějaká \(h_1,h_2\in H\) musí být \(x\cdot h_1 = y\cdot h_2\). Vynásobením na pravé straně prvkem \(h_2^{-1}\) dostaneme \(x\cdot h_1\cdot h_2^{-1}=y\). Pro jednoduchost provedeme substituci \(t=h_1\cdot h_2^{-1}\).
Vzhledem k definici podgrupy \(t\in H\), a proto:
\(yH=\{yh;\;h\in H\}=\{(xt)h;\;h\in H\}=\{x(th);\;h\in H\}\).
\(yH\subset xH\), neboť rovněž \((th)\in H\), a tudíž každý prvek v yH je obsažen v xH. Symetrickým postupem bychom získali \(xH\subset yH\), a proto \(yH=xH\). Z čehož plyne, že cosety gH tvoří rozklad G.
Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme bijektivní zobrazení f z H na xH pro \(\forall x \in G\). Definujme f rovnicí
\(f(h)=xh\)
- Důkaz injektivity: Předpokládejme \(f(h_1)=f(h_2)\).
\(x\cdot h_1=x\cdot h_2\). Obě strany vynásobíme zleva prvkem \(x^{-1}\)
\(x^{-1}\cdot x\cdot h_1=x^{-1}\cdot x\cdot h_2\)
\(h_1=h_2\)
- Surjektivita je zřejmá z definice.
Nechť \([G/H]\) značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny G a každý z nich má tentýž řád |H|. Z těchto úvah plyne \(|G|=[G/H]\cdot |H|\).
Tedy Q.E.D.
Důsledky
Řád každého prvku \( a\in G \), neboli nejnižší přirozené číslo n, pro které \(a^n=e\), je řád cyklické grupy generované prvkem a, a proto podle Lagrangeovy věty n dělí řád grupy G. Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než Eulerova-Fermatova věta. Dá se ukázat, že množina zbytků modulo n, které jsou s n nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je e = 1; existence inverzního prvku je důsledek Bézoutovy rovnosti pro gcd(g,n) = 1; asociativita vyplývá z vlastností modulární aritmetiky; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s n je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo n. Řád takové grupy je právě \(\varphi (n)\), což je Eulerova funkce. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek g nějaký řád k, který je dělitelem čísla \(\varphi (n)\). Odtud plyne
\(\varphi (n)=kd\), kde \(d\in\mathbb{Z}\)
\(g^{\varphi (n)}=g^{kd}=({g^k})^d=e^d=e\)
což je ekvivalentí zápisu
\(g^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}\).
Příbuzná tvrzení
Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.
Související články
- Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu – také známa jako Lagrangeova věta o střední hodnotě
- Sylowovy věty
Externí odkazy
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |