Prostorový úhel

Z Multimediaexpo.cz

Prostorový úhel je část prostoru vymezená rotační kuželovou plochou. Každá taková plocha dělí prostor na právě dvě části – prostorové úhly. Prostorový úhel se určuje tak, že se uvažuje kulová plocha o středu ve vrcholu V a o libovolném poloměru r, jejíž průnik s prostorovým úhlem je vrchlík na kulové ploše o obsahu A. Velikost prostorového úhlu pak určuje poměr mezi A a r², přičemž nezávisí na uvažované kulové ploše.^[1][2][3] Alternativní definicí prostorového úhlu je sjednocení všech polopřímek $\overrightarrow{VX}$ se společným počátkem V, kde bod X leží na kulovém vrchlíku se středem v bodě V.^[4][5][6]

Specifickým případem prostorového úhlu je poloprostor, tj. část prostoru rozděleného rovinou.

Obsah [skrýt] 1 Prostorový úhel jako fyzikální veličina 1.1 Definice 1.2 Značení a jednotky 1.3 Výpočet 2 Element prostorového úhlu 3 Poznámky 4 Reference 5 Související články 6 Externí odkazy

Prostorový úhel jako fyzikální veličina

Prostorový úhel jako veličina se používá k vymezení určité části možných směrů z daného prostorového bodu, a to zejména ve veličinách charakterizující šíření elektromagnetického vlnění (včetně světla) či korpuskulárního záření (toky a proudy částic).

Definice

Prostorový úhel jako veličina charakterizuje velikost části prostoru vyťaté obecnou kuželovou plochou (bez ohledu na její konkrétní tvar či směřování) pomocí obsahu $A$ plochy jí vymezené na kulové ploše (sféře) se středem ve vrcholu kuželové plochy^{[pozn. 1]} a s poloměrem $r$, a to nezávisle na velikosti (poloměru) sféry.

Definiční vztah:^[7]

$\mathit{\Omega }=\frac{A}{r^2}$

Prostorový úhel je veličinou skalární.

Značení a jednotky

• Symbol veličiny: $\mathit{\Omega }$
• Jednotka SI: steradián, značka jednotky: sr

Steradián je koherentní fyzikální jednotka prostorového úhlu. Jeden steradián je prostorový úhel, který vymezuje ze středu kulové plochy na jejím povrchu plochu o obsahu rovném kvadrátu jejího poloměru.^[8] (Definice je obecná, aniž by specifikovala tvar vymezené plochy.) Podobně jako radián, je steradián v současné podobě SI považován za odvozenou bezrozměrnou jednotku, přičemž dříve (do r. 1995) byl řazen do tzv. doplňkových jednotek s vlastním rozměrem.

• V astronomii se kromě steradiánu používá také starší jednotka čtverečný stupeň.

Výpočet

Prostorový úhel objektu pozorovaného z určitého bodu je číselně roven ploše, kterou zabírá obraz tohoto objektu v bodové projekci (se středem v daném bodě) na jednotkovou sféru, která má střed v daném bodě.

Plný prostorový úhel má hodnotu $4\pi$, přímý prostorový úhel (poloprostor) pak poloviční, tedy $2\pi$.

Element prostorového úhlu

Pozorujeme-li z určitého bodu o polohovém vektoru $\mathit{r}$ element plochy $\mathrm{d}S$, jehož polohový vektor je ${\mathit{r}}^{\prime }$, pak pro element prostorového úhlu platí

$\mathrm{d}\mathit{\Omega }=\frac{\mathit{R}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}}{R^3}$,

kde $\mathit{R}=\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\prime }$, $R$ je velikost tohoto vektoru a $\mathrm{d}\mathit{S}=\mathit{n}\mathrm{d}S$, přičemž $\mathit{n}$ je normála plochy v bodě ${\mathit{r}}^{\prime }$.

Poznámky

1. ↑ Takto vymezená plocha je tedy ohraničena obecnou uzavřenou sférickou křivkou, přičemž může jít i o sférický mnohoúhelník, jako u definice čtverečného stupně.

Reference

1. ↑ ROSSIOVÁ DELL'ACQUA, Alba. Encyklopedie matematiky. 1. vyd. Praha : Mladá fronta, 1988. S. 260.  
2. ↑ Encyklopedický institut ČSAV. Malá československá encyklopedie. 1. vyd. Svazek V. Pom–S. Praha : Academia, 1987. S. 123.  
3. ↑ KLEZCEK, Josip. Velká encyklopedie vesmíru. 1. vyd. Praha : Academia, 2002. ISBN 80-200-0906-X. S. 388.  
4. ↑ LOŠŤÁK, Jiří. Matematika do kapsy. 2. vyd. Olomouc : FIN, 1993. ISBN 80-85572-47-8. S. 123–124.  
5. ↑ Encyklopedický dům. Encyklopedický slovník. 1. vyd. Praha : Odeon & Encyklopedický dům, 1993. ISBN 80-207-0438-8. S. 1143.  
6. ↑ Diderot. Všeobecná encyklopedie Diderot v osmi svazcích. 2. nezměněné. vyd. Svazek 8. T–Ž. Praha : DIDEROT, 2002. ISBN 80-86613-08-9. S. 177.  
7. ↑ ČSN ISO/IEC 80000-3 (2007) Veličiny a jednotky, část 3: Prostor a čas. (http://csnonlinefirmy.unmz.cz/html_nahledy/01/78120/78120_nahled.htm Šablona:Wayback Náhled online.) Český normalizační institut, duben 2007
8. ↑ Příručka SI. Draft revize 9, odsouhlasený Rozhodnutím CIPM/106-13. Tabulka 4, odst. c), str. 12. Mezinárodní úřad pro míry a váhy, 10. listopad 2016. Dostupné online Šablona:Wayback (anglicky)

Související články

• Úhel
• Steradián

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu Prostorový úhel

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii