Polární soustava souřadnic

Z Multimediaexpo.cz

Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná $r$) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná $\phi$) udává úhel spojnice tělesa a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa $x$ kartézských souřadnic). Jedná se o ortogonální soustavu souřadnic s Lamého koeficienty

$h_r=1h_{\phi }=r$.

Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí.

Souřadnicová síť v polárních souřadnicích

Bod v polární soustavě souřadnic

Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: [r=3; φ=60°] a [r=4; φ=210°]

Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y]

Transformace polárních souřadnic na kartézské:

$x=r\cos \phi$

$y=r\sin \phi$

Převod kartézských souřadnic na polární:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\phi =\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$

Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu $\phi \in ⟨0,\frac{\pi }{2}⟩$ - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako

\(\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix}

\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } (x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y<0), \ \end{matrix}\right.\)

Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\phi =\mathrm{arctg}2(y,x)$

Metrické vlastnosti

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\phi }^2,$

tedy délka křivky obecně jako

\(\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2

           +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,\)

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od $t_1$ do $t_2$.

Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako

$\mathrm{d}S=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi ,$

takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

\({\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}=

{\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0\)

${{\mathrm{\Gamma }}^{\phi }}_{\phi r}={{\mathrm{\Gamma }}^{\phi }}_{r\phi }=\frac{1}{r}$

${{\mathrm{\Gamma }}^r}_{\phi \phi }=-r$

Diferenciální operátory v polárních souřadnicích

\(\nabla f =

 + {1 \over  r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi} 

\)

\(\nabla \cdot \mathbf{A} =

 + {1 \over  r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi} 

\)

\(\Delta f = \nabla^2 f =

 + {1 \over  r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} 

\)

\(\Delta \mathbf{A} =

 \left(\Delta A_r  - {A_r  \over  r ^2} 
   - {2 \over  r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r }  + 
 \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over  r ^2} 
   + {2 \over  r ^2}{\partial A_r  \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi}  

\)

Externí odkazy

• Polární souřadnice na MathWorldu