Foreground plně podporuje – RWD, HTML 5.0, Super Galerii a YouTube 2.0 !
Newtonova interpolace
Z Multimediaexpo.cz
Chceme-li aproximovat funkci danou svými body \( x_0 \cdots x_n \) (tzv. uzly interpolace), a požadujeme aby interpolace procházela zadanými body, použijeme aproximaci interpolačním polynomem.
Tato interpolace nám poslouží k získání přibližné hodnoty funkce v libovolném bodě intervalu \(<x_0,x_n>\).
- Tvar Newtonova interpolačního polynomu
\(N_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+...+a_n(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})\)
Koeficienty \(a_0 \cdots a_n\) lze vypočítat pomocí poměrných diferencí. (viz níže)
Sestavení tabulky poměrných diferencí
V každém sloupci tabulky se budou nacházet poměrné diference daného řádu. Diferencemi 0. řádu budou přímo funkční hodnoty v bodech \(x_i\).
- Poměrné diference 1. řádu vyjádříme
\(f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}\)
- Poměrné diference 2. řádu vyjádříme
\(f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}\)
Ostatní diference vyjádříme analogicky.
Příklad konstrukce Newtonova interpolačního polynomu
Obsah |
Hledáme polynom procházející body: \([-2,-39], [0,3], [1,6], [3,36]\)
| \(x_i\) | \(f(x_i)\) | Diference 1. řádu | Diference 2. řádu | Diference 3. řádu |
|---|---|---|---|---|
| \(x_0=-2\) | \(f(x_0)=-39=a_0\) | |||
| \(x_1=0\) | \(f(x_1)=3\) | \(\frac{3-(-39)}{0-(-2)}=21=a_1\) | ||
| \(x_2=1\) | \(f(x_2)=6\) | \(\frac{6-3}{1-0}=3\) | \(\frac{3-21}{1-(-2)}=-6=a_2\) | |
| \(x_3=3\) | \(f(x_3)=36\) | \(\frac{36-6}{3-1}=15\) | \(\frac{15-3}{3-0}=4\) | \(\frac{4-(-6)}{3-(-2)}=2=a_3\) |
\(P_3(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\)
\(P_3(x) = -39 +21(x+2) -6(x+2)x +2(x+2)x(x-1) \)
Vlastnosti interpolační metody
Newtonův interpolační polynom má tu výhodu, že je pro něj oproti Lagrangeově interpolaci výpočetně méně náročné přidat jeden bod, protože některé výpočty zůstanou beze změny (například předchozí koeficienty \(a_k\) se nezmění).
Související články
- Lagrangeova interpolace
- Metoda nejmenších čtverců
- Geometrie – více informací o křivkách
Externí odkazy
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |