Cauchyovská posloupnost

Z Multimediaexpo.cz

Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru, jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská. Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.

Definice

V metrickém prostoru M s metrikou d je posloupnost $(x_1,x_2,\dots )$ cauchyovská, pokud pro ni platí tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínka:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }m,n\ge n_0:d(x_m,x_n)<\epsilon$

Příklady

• Harmonická posloupnost $\frac{1}{n}$ je cauchyovská.
• Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor $\mathbb{A}$, v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru $\mathbb{A}$, se nazývá úplný metrický prostor.
• Posloupnost racionálních čísel $(1+1/n{)}^n$ je cauchyovská, ale její limita je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.
• Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z Bolzano-Weierstrassovy věty pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost reálných čísel je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný.

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii