V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Banachova věta o pevném bodě

Z Multimediaexpo.cz

Banachova věta o pevném bodě (nebo také Banachova věta o kontrakci) říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

Znění věty

Nechť \((P, d) \,\) je neprázdný úplný metrický prostor a \(A:P\to P\) je kontrakce na \(P \,\). Pak existuje právě jeden prvek \(x\in P\) takový, že \(Ax=x \,\).

Důkaz

\(A \,\) je kontrakce, existuje tedy \(\alpha\in[0,1)\) takové, že pro všechny \(x,y\in P\) platí

\(d(Ax,Ay)\leq \alpha d(x,y)\).

Zvolme libovolně \(x_0\in P\). Dále sestrojme posloupnost zadanou rekurzí pro \(n\in\mathbb{N}\) jako \(x_n=Ax_{n-1} \,\). Nyní ukážeme, že tato posloupnost je Cauchyovská, tedy

\(\forall \varepsilon > 0 \; \exists n_0 \in \mathbb{N}\; \forall m, n \ge n_0\;: d(x_m, x_n) < \varepsilon\)

Pro dané \(\varepsilon \,\), \(m \,\) a \(n \,\) (bez újmy na obecnosti volíme \(n\le m\)) hledáme \(n_0(\varepsilon)\). Z trojúhelníkové nerovnosti pro metriku plyne

\(d(x_n, x_m)\leq d(x_n, x_{n+1})+d(x_{n+1}, x_{n+2})+\cdots+d(x_{m-1}, x_{m})\leq\)

dále z vlastnosti kontrakce a sečtením \(m-n \,\) členů geometrické posloupnosti

\(\leq d(x_n, x_{n+1})+\alpha d(x_{n}, x_{n+1})+\cdots+\alpha^{m-n-1} d(x_{n}, x_{n+1})=(1+\alpha+\cdots+\alpha^{m-n-1}) d(x_n, x_{n+1})=\)
\(=\frac{1-\alpha^{m-n}}{1-\alpha}\alpha^{n} d(x_0,x_1)\leq\frac{\alpha^{n}}{1-\alpha} d(x_0,x_1)\)

Limita posledního výrazu pro \(n\to \infty\) je nula, pro každé \(\varepsilon\) tedy existuje \(n_0 \,\), že

\(d(x_n, x_m)\leq\frac{\alpha^{n}}{1-\alpha} d(x_0,x_1)<\varepsilon\)

a posloupnost \(x_n \,\) je tedy Cauchyovská. Protože je metrický prostor \((P,d) \,\) úplný, Cauchyovská posloupnost \(x_n \,\) konverguje k nějakému \(x\in P\).

\(x=\lim_{n\to \infty}x_n=\lim_{n\to \infty}Ax_{n-1}=\)

z věty o limitě složené funkce (vnější funkce \(A \,\) je spojitá, protože každá kontrakce je spojitá)

\(=A\lim_{n\to \infty}x_{n-1}=Ax\)

\(x \,\) je tedy pevným bodem zobrazení \(A \,\).


Zbývá ukázat, že \(x \,\) je jediným pevným bodem. Ukážeme to sporem - předpokládejme, že existují pevné body \(x, y\in P\) a \(x\neq y\).

\(d(x,y)=d(Ax,Ay)\leq\alpha d(x,y)\)

protože \(d(x,y) \,\) je kladné můžeme obě strany krátit a zbude

\(1\leq\alpha\),

což je spor, protože \(\alpha\in [0,1)\).