Lebesgueův integrál

Z Multimediaexpo.cz

Integrál nezáporné funkce může být interpretován jako plocha pod křivkou grafu funkce.

Lebesgueův integrál někdy se můžeme setkat s názvem L-integrál označuje v matematice definici určitého integrálu, založenou na teorii míry. Lebesgueův integrál je obecnější než integrál Riemannův, což v praxi znamená, že pokud existuje Riemannův integrál, tak existuje také Lebesgueův integrál, přičemž hodnoty obou integrálů jsou shodné. Pokud Riemannův integrál neexistuje, může existovat integrál Lebesgueův. Opačné tvrzení však neplatí (např. Dirichletova funkce, jejíž funkční hodnota je 1, pokud je argument racionální číslo, a je rovna 0, pokud je argumentem iracionální číslo, má Lebesgueův integrál, ale nemá Riemannův integrál).

Lebesgueův integrál je pojmenován po francouzském matematikovi Henri Lebesgueovi (* 28. června 1875, † 26. července 1941).

Definice

Nechť \((X, \mathcal{M}, \mu)\) je prostor s mírou, \(M \in \mathcal{M}\). Pro měřitelnou nezápornou funkci \(f:M \rightarrow \overline{\mathbb{R}}\) definujeme Lebesgueův integrál vztahem

\( \int\limits_M f \mbox{d}\mu = \sup \left\{ \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j), (\forall i \neq j) A_i \cap A_j = \emptyset, M = \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}A_j, (\forall x \in A_j) \alpha_j\leq f(x) \right\} \)

Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme

\(\int\limits_M f \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu-\int\limits_M f^- \mbox{d}\mu\)

(má-li výraz smysl), kde \(f^+ = \max\left\{ 0, f\right\}\) je kladná část funkce \(f\) a \(f^- = \max\{ 0, -f\}\) je záporná část \(f\).

Vlastnosti

• Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál, obecná měřitelná funkce \(f\) integrál nemá tehdy, když

\( \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^- \mbox{d}\mu = +\infty \)

• Pro jednoduchou funkci \(s = \sum\alpha_j \chi_{A_j}\) je možné napsat definiční vztah jako

\(\int\limits_M s \mbox{d}\mu = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j)\)

Jednoduchou funkci je však možné vyjádřit pomocí různých rozkladů. Z takové definice tedy není zřejmé, že hodnota integrálu jednoduché funkce nezávisí na rozkladu.

\(L^p\) prostory

Pomocí Lebesgueova integrálu definujeme \(\mathcal{L}^p\) prostory funkcí

\(\mathcal{L}^p = \left\{ f \mbox{ meritelna}, \int_X |f|^p \mbox{d}\mu < \infty \right\}\)

a zavedeme množinovou funkci

\(\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p \mbox{d}\mu \right)^{1 \over p}\)

Snadno se ukáže, že \(\|f\|_p\) splňuje všechny vlastnosti normy kromě jedné: \(\int_X |f|^p \mbox{d}\mu = 0\) neznamená \(f=0\) všude v \(X\), ale pouze skoro všude v \(X\). Tvrzení tedy neplatí na množině míry 0.

Zavádí se proto prostory \(L^p\) tříd ekvivalencí funkcí, které se liší na množině míry 0. V takovém prostoru je již \(\|f\|_p\) normou.