Teorie míry

Z Multimediaexpo.cz

Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá z nejobecnějšího možného hlediska problémem matematického uchopení pojmu kvantity. Má velmi úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti.

Pojem míry je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů délky, obsahu, objemu nebo počtu (množství).

Funkce μ, která je definovaná na σ-algebře Σ, a jejíž obor hodnot je podmnožinou intervalu $[0, \infty]$ , se nazývá míra, jestliže platí:

míra prázdné množiny je nulová: $μ (\emptyset) = 0$
σ-aditivita: pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin $A_{0}, A_{1}, . . .$ je $μ (⋃_{i} A_{i}) = \sum_{i} μ (A_{i})$

$pokud A \subseteq B, pak μ (A) \leq μ (B)$
$pokud A_{0} \subseteq A_{1} \subseteq . . ., pak μ (⋃_{i} A_{i}) = lim_{i \to \infty} μ (A_{i})$
$pokud A_{0} \supseteq A_{1} \supseteq . . . a μ (A_{0}) < \infty, pak μ (⋂_{i} A_{i}) = lim_{i \to \infty} μ (A_{i})$

Aritmetická míra
Diracova míra $δ_{a}$ : Nehť X je neprázdná množina a a její prvek.
Diracova míra $δ_{a}$ je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:

$δ_{a} (A) = {\begin{cases} 0 pokud a \notin A \\ 1 pokud a \in A \end{cases}$

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii