Sigma okruh

Z Multimediaexpo.cz

$\sigma$-okruh (sigma-okruh) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků. Prefix $\sigma$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Formální definice

Systém množin $\mathcal{R}$ je $\sigma$-okruh, pokud splňuje následující vlastnosti:

1. $\mathcal{R}\ne \mathrm{\varnothing }$
2. jestliže $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(A_n\in \mathcal{R})$, pak $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in \mathcal{R}$
3. jestliže $A,B\in \mathcal{R}$, pak $A\setminus B\in \mathcal{R}$

Někdy se jako $\sigma$-okruh označuje uspořádaná dvojice $(\mathrm{\Omega },\mathcal{R})$, kde $\mathrm{\Omega }$ je libovolná množina a $\mathcal{R}\subseteq \mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$ je nějaký systém jejích podmnožin, který splňuje výše uvedené vlastnosti.

Další vlastnosti

• Každý $\sigma$-okruh obsahuje prázdnou množinu
• $\sigma$-okruh je uzavřený na spočetný průnik svých prvků: jestliže $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(A_n\in \mathcal{R})$, pak $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in \mathcal{R}$

Použití

Koncept $\sigma$-okruhu je důležitý především v teorii míry, kde se používá místo sigma algebry, pokud není potřeba, aby univerzální množina byla měřitelná.

Související články

• $\sigma$-algebra $\mathcal{A}$ je $\sigma$-okruh, který obsahuje sjednocení všech svých prvků (tj. $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{A}$).
• Systém množin
• Potenční množina