Paprsková rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 14. 8. 2022, 15:27; Sysop (diskuse | příspěvky)
(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)

Paprskovu rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je

n=dds(ndrds),

kde s je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

nd2rds2=n(ndrds)drds

Z diferenciální geometrie je přitom známo, že d2rds2 je vždy kolmá na drds (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

1R=|d2rds2|.

Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

Máme-li tedy zadán směr paprsku drds v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

Příklady

Speciálně je-li n=0, dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí

n(y)dxds=konst.

Což lze přepsat pomocí úhlu α, který paprsek svírá s osou y do tvaru

n(y)sinα=konst.

Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu:

n1sinα1=n2sinα2

Externí odkazy