The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 24, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).
Paprsková rovnice
Z Multimediaexpo.cz
Paprskovu rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je
\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\),
kde \(s\) je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.
Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar
\(n\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s}\)
Z diferenciální geometrie je přitom známo, že \(\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\) je vždy kolmá na \(\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}\) (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,
\(\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\right|\).
Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).
Máme-li tedy zadán směr paprsku \(\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}\) v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.
Příklady
Speciálně je-li \(\nabla n =0\), dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.
Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí
\(n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.\)
Což lze přepsat pomocí úhlu \(\alpha\), který paprsek svírá s osou y do tvaru
\(n(y) \sin \alpha = konst.\)
Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu:
\(n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2\)
Externí odkazy
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |