Eulerův vzorec
Z Multimediaexpo.cz
Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:
- \(e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!</math>
Význam vzorce
Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu Komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.
Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:
- \(f(x) = e^{x}</math>
Ze znalosti Taylorovy řady víme, že:
- \(e^{x} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...</math>
Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem:
- \(e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} + \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...</math>
Dosaďme za exponent ix:
- \(e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...</math>
Nyní mírně přerovnejme sčítance
- \(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)</math>
Ze druhé části vytkněme i:
- \(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)</math>
Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit:
- \(e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)</math>
Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:
- \(e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)</math>
Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |