Eulerův vzorec

Z Multimediaexpo.cz

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi$

Význam vzorce

Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu Komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.

Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:

$f(x)=e^x$

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že:

$e^x=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...$

Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem:

$e^{a+bi}=\frac{{(a+bi)}^0}{0!}+\frac{{(a+bi)}^1}{1!}+\frac{{(a+bi)}^2}{2!}+...$

Dosaďme za exponent ix:

$e^{ix}=\frac{{(ix)}^0}{0!}+\frac{{(ix)}^1}{1!}+\frac{{(ix)}^2}{2!}+\frac{{(ix)}^3}{3!}+...$

Nyní mírně přerovnejme sčítance

$e^{ix}=(\frac{{(ix)}^0}{0!}+\frac{{(ix)}^2}{2!}+...)+(\frac{{(ix)}^1}{1!}+\frac{{(ix)}^3}{3!}+...)$

Ze druhé části vytkněme i:

$e^{ix}=(\frac{{(ix)}^0}{0!}+\frac{{(ix)}^2}{2!}+...)+i(\frac{x^1}{1!}+\frac{i^2{x}^3}{3!}+...)$

Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit:

$e^{ix}=(\frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+...)+i(\frac{x^1}{1!}-\frac{x^3}{3!}+...)$

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii