Logaritmická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu. [1] [2]

Příklad, jak může rovnice vypadat:

<math>(3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4</math>

Obsah

Řešení logaritmické rovnice

[3] [4]

Jednoduchá rovnice

  1. <math>\log_5 \frac{1}{125} = x</math>
  2. Z pravidla víme, že <math>y = \log_a x => a^y = x</math> čili:
    <math>5^x = \frac{1}{125}</math>
  3. Nyní to budeme řešit jako exponenciální rovnici o stejném základu. Čili <math>125</math> se dá napsat jako <math>5^3</math>:
    <math>5^x = \frac{1}{5^3}</math>
  4. Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen <math>5</math>
    <math>5^x = 5^{-3}</math>
  5. <math>x = -3</math>

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Odstraněním logaritmu

  1. <math>\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0</math>
    1. Podmínkou je, že <math>3x - 5 > 0</math>
    2. <math>3x > 5</math>
    3. <math>x > \frac{5}{3}</math>
  2. Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
    <math>\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1</math>
  3. <math>\frac{1}{7}</math> napíšeme jako exponent:
    <math>log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1</math>
  4. Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
    <math>(3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1</math>
  5. Z exponentu <math>\frac{1}{7}</math> uděláme sedmou odmocninu:
    <math>\sqrt[7]{3x - 5} = 1</math>
  6. Celou rovnici umocníme na 7:
    <math>3x - 5 = 1</math>
  7. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
    <math>3x = 1 + 5</math>
  8. <math>3x = 6</math>
  9. Celou rovnici vydělíme 3:
    <math>x = 2</math>

Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

S pomocí kalkulačky

  1. <math>(3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4</math>
  2. Vynásobíme závorky s logaritmem:
    <math>3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4</math>
  3. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
    <math>- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
  4. Vytkneme x:
    <math>x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
  5. Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
    <math>x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}</math>
  6. <math>x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}</math>
  7. Vypočítáme na kalkulačce:
    <math>x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}</math>
  8. Výsledek je:
    <math>x = 1</math>

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

  1. <math>(\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0</math>
    Poznámka: <math>(\log_2 x)^2 = \log_2^2 x</math>
    1. Podmínkou je, že <math>x > 0</math>
  2. Zavedeme substituci <math>a = \log_2 x</math> čili:
    <math>a^2 - a - 2 = 0</math>
  3. <math>(a - 2)(a + 1)</math>
  4. Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
    1. <math>a_1 = 2</math>
    2. <math>a_2 = -1</math>
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. <math>\log_2 x = 2</math>
      1. Z pravidla víme, že <math>y = \log_a x => a^y = x</math> čili:
        <math>x = 2^2</math>
      2. <math>x = 4</math>
    2. <math>\log_2 x = -1</math>
      1. Z pravidla víme, že <math>y = \log_a x => a^y = x</math> čili:
        <math>x = 2^{-1}</math>
      2. <math>x = \frac{1}{2^1}</math>
      3. <math>x = \frac{1}{2}</math>

Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Související články

Reference

  1. ↑ Logaritmická rovnice - teorie
  2. ↑ Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady
  3. ↑ Logaritmická rovnice - řešené příklady
  4. ↑ Logaritmická rovnice - řešené příklady


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Logaritmick%C3%A1_rovnice“