Logaritmická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu. ^{[1] [2]}

Příklad, jak může rovnice vypadat:

$(3-x)\cdot \log x=(2-x)\cdot \log 4$

Obsah [skrýt] 1 Řešení logaritmické rovnice 1.1 Jednoduchá rovnice 1.2 Odstraněním logaritmu 1.3 S pomocí kalkulačky 1.4 Substituce 2 Související články 3 Reference

Řešení logaritmické rovnice

^{[3] [4]}

Jednoduchá rovnice

1. ${\log }_5\frac{1}{125}=x$
2. Z pravidla víme, že $y={\log }_{a}x=>a^y=x$ čili:
   $5^x=\frac{1}{125}$
3. Nyní to budeme řešit jako exponenciální rovnici o stejném základu. Čili $125$ se dá napsat jako $5^3$:
   $5^x=\frac{1}{5^3}$
4. Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen $5$
   $5^x=5^{-3}$
5. $x=-3$

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Odstraněním logaritmu

1. $\frac{1}{7}{\log }_2(3x-5)=0$
   1. Podmínkou je, že $3x-5>0$
   2. $3x>5$
   3. $x>\frac{5}{3}$
2. Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
   $\frac{1}{7}{\log }_2(3x-5)={\log }_{2}1$
3. $\frac{1}{7}$ napíšeme jako exponent:
   $lo{g}_2(3x-5{)}^{\frac{1}{7}}={\log }_{2}1$
4. Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
   $(3x-5{)}^{\frac{1}{7}}=1$
5. Z exponentu $\frac{1}{7}$ uděláme sedmou odmocninu:
   $\sqrt[7]{3x-5}=1$
6. Celou rovnici umocníme na 7:
   $3x-5=1$
7. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
   $3x=1+5$
8. $3x=6$
9. Celou rovnici vydělíme 3:
   $x=2$

Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

S pomocí kalkulačky

1. $(3-x)\cdot \log 2=(2-x)\cdot \log 4$
2. Vynásobíme závorky s logaritmem:
   $3\cdot \log 2-x\cdot \log 2=2\cdot \log 4-x\cdot \log 4$
3. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
   $-x\cdot \log 2+x\cdot \log 4=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2$
4. Vytkneme x:
   $x\cdot (-\log 2+\log 4)=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2$
5. Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
   $x=\frac{-\log 2+\log 4}{2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}$
6. $x=\frac{-\log 2+\log 4}{\log 4^2-\log 2^3}$
7. Vypočítáme na kalkulačce:
   $x=\frac{-\log 2+\log 4}{\log 16-\log 8}$
8. Výsledek je:
   $x=1$

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

1. $({\log }_{2}x{)}^2-{\log }_{2}x-2=0$
   Poznámka: $({\log }_{2}x{)}^2={\log }_2^{2}x$
   1. Podmínkou je, že $x>0$
2. Zavedeme substituci $a={\log }_{2}x$ čili:
   $a^2-a-2=0$
3. $(a-2)(a+1)$
4. Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
   1. $a_1=2$
   2. $a_2=-1$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. ${\log }_{2}x=2$
      1. Z pravidla víme, že $y={\log }_{a}x=>a^y=x$ čili:
         $x=2^2$
      2. $x=4$
   2. ${\log }_{2}x=-1$
      1. Z pravidla víme, že $y={\log }_{a}x=>a^y=x$ čili:
         $x=2^{-1}$
      2. $x=\frac{1}{2^1}$
      3. $x=\frac{1}{2}$

Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Související články

• Logaritmus
• Rovnice
• Lineární rovnice
• Exponenciální rovnice
  • Umocňování
• Substituce (matematika)
• Kvadratická rovnice
• Vytýkání

Reference

1. ↑ Logaritmická rovnice - teorie
2. ↑ Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady
3. ↑ Logaritmická rovnice - řešené příklady
4. ↑ Logaritmická rovnice - řešené příklady

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii