Střední hodnota

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Střední hodnota|700}}
+
{{Možná hledáte|[[Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu]]}}
 +
'''Střední hodnota''' je nejznámější [[míra polohy]] ve [[statistika|statistice]]. Často se nazývá ''populační průměr''.
 +
Střední hodnota [[náhodná veličina|náhodné veličiny]] <math>X</math> se značí <math>\operatorname{E}X</math>, <math>\operatorname{E}(X)</math> nebo také <math>\langle X\rangle</math>.
 +
 +
== Definice ==
 +
Střední hodnota je parametr [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] [[náhodná veličina|náhodné veličiny]], který je definován jako [[vážený průměr]] daného rozdělení. V řeči [[teorie míry]] se jedná o hodnotu
 +
:<math>\operatorname{E}X = \int_{R} x \mathrm{d}P(x)</math>,
 +
kde <math>P</math> je pravděpodobnostní míra určující [[rozdělení náhodné veličiny]] <math>X</math>. Pokud výraz na pravé straně [[absolutní konvergence|nekonverguje absolutně]], pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.
 +
 +
Speciálně:
 +
* Má-li náhodná veličina <math>X</math> [[spojité rozdělení]] s [[hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustotou rozdělení]] <math>f(x)</math>, pak
 +
:<math>\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \mathrm{d}x</math>.
 +
* Má-li náhodná veličina <math>X</math> [[diskrétní rozdělení]] kde <math>P[X=s_{i}]=p_{i}</math> pro <math>i \in I</math> nejvýše [[spočetná množina|spočetnou množinu]] různých výsledků, pak
 +
:<math>\operatorname{E}X = \sum_{I} s_{i} p_{i}</math>
 +
 +
== Vlastnosti ==
 +
Střední hodnota [[konstanta|konstanty]] <math>c</math> je
 +
:<math>\operatorname{E}(c)=c</math>
 +
 +
Pro střední hodnotu [[součin]]u náhodné veličiny <math>X</math> a konstanty <math>c</math> platí
 +
:<math>\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)</math>
 +
 +
Střední hodnota [[Sčítání|součtu]] dvou náhodných veličin <math>X, Y</math> je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy
 +
:<math>\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y)</math>
 +
Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.
 +
 +
Pro [[nezávislé jevy|nezávislé náhodné veličiny]] <math>X, Y</math> je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.
 +
:<math>\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)</math>
 +
Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!
 +
 +
== Příklady ==
 +
=== Diskrétní náhodná veličina ===
 +
Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.
 +
 +
Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.
 +
 +
=== Spojitá náhodná veličina ===
 +
Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x.
 +
Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Rozptyl (statistika)]]
 +
* [[Charakteristika náhodné veličiny]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Matematická statistika]]
[[Kategorie:Matematická statistika]]

Verze z 19. 10. 2014, 20:20


Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá populační průměr.

Střední hodnota náhodné veličiny <math>X</math> se značí <math>\operatorname{E}X</math>, <math>\operatorname{E}(X)</math> nebo také <math>\langle X\rangle</math>.

Obsah

Definice

Střední hodnota je parametr rozdělení náhodné veličiny, který je definován jako vážený průměr daného rozdělení. V řeči teorie míry se jedná o hodnotu

<math>\operatorname{E}X = \int_{R} x \mathrm{d}P(x)</math>,

kde <math>P</math> je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny <math>X</math>. Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně:

<math>\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \mathrm{d}x</math>.
<math>\operatorname{E}X = \sum_{I} s_{i} p_{i}</math>

Vlastnosti

Střední hodnota konstanty <math>c</math> je

<math>\operatorname{E}(c)=c</math>

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny <math>X</math> a konstanty <math>c</math> platí

<math>\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)</math>

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin <math>X, Y</math> je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy

<math>\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y)</math>

Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny <math>X, Y</math> je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.

<math>\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)</math>

Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!

Příklady

Diskrétní náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x. Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.

Související články


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/St%C5%99edn%C3%AD_hodnota“