Zlatý prostorový úhel

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 25. 7. 2014, 19:35

Zlatý prostorový úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:

<math>\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}</math> - mysleno v steradiánech

<math>\alpha + \beta = 4 \pi</math>

Výpočet

Obsah

1 Výpočet
- 1.1 Výpočet užitím zlatého řezu
- 1.2 Výpočet bez znalosti zlatého řezu
2 Související články

Výpočet užitím zlatého řezu

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (<math> \varphi = \frac {1+ \sqrt 5}{2}</math>), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:

<math>\beta = \varphi\alpha</math>

<math>4 \pi = \varphi\beta</math>

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

<math>4 \pi = \varphi^2\alpha</math>

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:

<math>\frac {4 \pi} {\varphi^2} = \alpha </math>

Výpočet bez znalosti zlatého řezu

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým prostorovým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého prostorového úhlu jinak.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

<math>\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}</math>

<math>\alpha + \beta = 4 \pi</math>

Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.

<math>\beta = 4\pi - \alpha</math>

<math>\frac{\alpha}{4\pi - \alpha} = \frac{4\pi - \alpha}{4\pi}</math>

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

<math>4 \pi \alpha = 16 \pi^2 - 8 \pi \alpha + \alpha^2</math>

<math>0 = 16 \pi^2 - 12 \pi \alpha + \alpha^2</math>

A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α₁ a α₂.

<math>\alpha_{1,2} = \frac {12 \pi \pm \sqrt {80} \pi} {32}</math>

<math>\alpha_{1} = \frac {12 \pi + \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\sqrt {14} \pi}{8}</math>

<math>\alpha_{2} = \frac {12 \pi - \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\pi}{4}</math>

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-{{Wikipedia-cs|Zlatý prostorový úhel|700}}
+'''Zlatý prostorový úhel''' se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:
-[[Kategorie:Geometrie]]
+:<math>\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}</math> - mysleno v steradiánech
+:<math>\alpha + \beta = 4 \pi</math>
+==Výpočet==
+{{RIGHTTOC}}
+=== Výpočet užitím zlatého řezu ===
+Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným [[zlatý řez]] (<math> \varphi = \frac {1+ \sqrt 5}{2}</math>), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:
+:<math>\beta = \varphi\alpha</math>
+:<math>4 \pi = \varphi\beta</math>
+Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:
+:<math>4 \pi = \varphi^2\alpha</math>
+Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:
+:<math>\frac {4 \pi} {\varphi^2} = \alpha </math>
+===Výpočet bez znalosti zlatého řezu===
+Pokud nevíme o existenci [[zlatý řez|zlatého řezu]] nebo jeho souvislosti se zlatým prostorovým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého prostorového úhlu jinak.
+Úloha je zadána dvěma rovnicemi.
+:<math>\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}</math>
+:<math>\alpha + \beta = 4 \pi</math>
+Z druhé rovnice vyjádříme ''&beta;'' a dosadíme jej do první rovnice.
+:<math>\beta = 4\pi - \alpha</math>
+:<math>\frac{\alpha}{4\pi - \alpha} = \frac{4\pi - \alpha}{4\pi}</math>
+Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.
+:<math>4 \pi \alpha = 16 \pi^2 - 8 \pi \alpha + \alpha^2</math>
+:<math>0 = 16 \pi^2 - 12 \pi \alpha + \alpha^2</math>
+A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny ''&alpha;<sub>1</sub>'' a ''&alpha;<sub>2</sub>''.
+:<math>\alpha_{1,2} = \frac {12 \pi \pm \sqrt {80} \pi} {32}</math>
+:<math>\alpha_{1} = \frac {12 \pi + \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\sqrt {14} \pi}{8}</math>
+:<math>\alpha_{2} = \frac {12 \pi - \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\pi}{4}</math>
+==Související články==
+* [[Zlatý řez]]
+* [[Zlatý úhel]]
+* [[Prostorový úhel]]
+{{Článek z Wikipedie}}
+[[Kategorie:Prostorové geometrické útvary]]