Měřitelný prostor

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 27. 12. 2024, 12:00

Měřitelný prostor neboli borelovský prostor je v matematice základní objekt teorie míry.^[1] Sestává z libovolné neprázdné množiny a tzv. sigma-algebry na této množině.

Měřitelný prostor poskytuje informace o tom, které množiny (podmnožiny neprázdné množiny) lze měřit. Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny neprázdné množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od prostoru s mírou nedefinuje žádnou konkrétní míru.

Definice

Měřitelný prostor je uspořádaná dvojice \((X,\mathcal A)\), kde^[2]

\(X\) je neprázdná množina,
\(\mathcal A\) je \(\sigma\)-algebra na množině \(X\).

Příklad

Uvažujme množinu \(X= \{1,2,3\}\), pak jedna z možných \(\sigma\)-algeber je

\(\mathcal A_1=\{X, \emptyset\}\) a \((X,\mathcal A_1)\) je měřitelný prostor,

další možnou \(\sigma\)-algebrou je potenční množina množiny \(X\), tj.:

\( \mathcal A_2= \mathcal P(X)\) a \((X, \mathcal A_2)\) je jiný měřitelný prostor.

Měřitelné prostory

Pokud \(X\) je konečná nebo spočetná množina, pak potenční množina množiny \(X\) je \(\sigma\)-algebrou, tj. \(\mathcal A=\mathcal P(X)\). Měřitelný prostor je pak \((X, \mathcal P(X))\).
Pokud \(X\) je topologický prostor, pak \(\sigma\)-algebra může být borelovská množina \(\mathcal B\), tj. \(\mathcal A= \mathcal B(X)\).
Měřitelný prostor je pak \((X, \mathcal B(X))\), obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny reálných čísel \( \mathbb{R} \).

Borelovské prostory

Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů, může znamenat:

jakýkoli měřitelný prostor, tj. být synonymem pro měřitelný prostor jak je definovaný výše,^[1]
měřitelný prostor, který je borelovsky izomorfní s nějakou měřitelnou podmnožinou reálných čísel, která je borelovskou \(\sigma \)-algebrou^[3].

Reference

↑ ^1,0 ^1,1 SAZONOV, V. V.. Měřitelný prostor. [s.l.] : Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers. Dostupné online. ISBN 978-1-55608-010-4.
↑ KLENKE, Achim. Probability Theory. Berlín : Springer, 2008. ISBN 978-1-84800-047-6. DOI:10.1007/978-1-84800-048-3
↑ KALLENBERG, Olav. Random Measures, Theory and Applications. Svazek 77. Švýcarsko : Springer, 2017. (Probability Theory and Stochastic Modelling.) ISBN 978-3-319-41596-3. DOI:10.1007/978-3-319-41598-7

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[eommeasurablespace-0] 1,0 ^1,1 SAZONOV, V. V.. Měřitelný prostor. [s.l.] : Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers. Dostupné online. ISBN 978-1-55608-010-4.

[Klenke18-1] KLENKE, Achim. Probability Theory. Berlín : Springer, 2008. ISBN 978-1-84800-047-6. DOI:10.1007/978-1-84800-048-3

[Kallenberg15-2] KALLENBERG, Olav. Random Measures, Theory and Applications. Svazek 77. Švýcarsko : Springer, 2017. (Probability Theory and Stochastic Modelling.) ISBN 978-3-319-41596-3. DOI:10.1007/978-3-319-41598-7

[1]

[2]

[3]