Multimediaexpo.cz dnes patří do elitního globálního klubu
majitelů nejméně 1 fotografie s více než 100 000 zobrazeními !
Je tak jasné, že náš globální dosah a význam bude dále růst.
majitelů nejméně 1 fotografie s více než 100 000 zobrazeními !
Je tak jasné, že náš globální dosah a význam bude dále růst.
Eulerův vzorec
Z Multimediaexpo.cz
(Rozdíly mezi verzemi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
[[Soubor:Euler's formula.png|thumb|right|300px|Eulerův vzorec pro libovolný úhel.]] | [[Soubor:Euler's formula.png|thumb|right|300px|Eulerův vzorec pro libovolný úhel.]] | ||
'''Eulerův vzorec''' určuje vztah mezi [[goniometrická funkce|goniometrickými funkcemi]] a [[exponenciální funkce|exponenciální funkcí]]: | '''Eulerův vzorec''' určuje vztah mezi [[goniometrická funkce|goniometrickými funkcemi]] a [[exponenciální funkce|exponenciální funkcí]]: | ||
- | :<big>\(e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!</ | + | :<big>\(e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!\)</big> |
== Význam vzorce == | == Význam vzorce == | ||
Řádka 8: | Řádka 8: | ||
Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné: | Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné: | ||
- | :<big>\(f(x) = e^{x}</ | + | :<big>\(f(x) = e^{x}\)</big> |
Ze znalosti [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] víme, že: | Ze znalosti [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] víme, že: | ||
- | :<big>\(e^{x} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...</ | + | :<big>\(e^{x} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...\)</big> |
Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem: | Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem: | ||
- | :<big>\(e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} + \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...</ | + | :<big>\(e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} + \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...\)</big> |
Dosaďme za exponent '''ix''': | Dosaďme za exponent '''ix''': | ||
- | :<big>\(e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...</ | + | :<big>\(e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...\)</big> |
Nyní mírně přerovnejme sčítance | Nyní mírně přerovnejme sčítance | ||
- | :<big>\(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)</ | + | :<big>\(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)\)</big> |
Ze druhé části vytkněme '''i''': | Ze druhé části vytkněme '''i''': | ||
- | :<big>\(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)</ | + | :<big>\(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)\)</big> |
Teď se '''i''' vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit: | Teď se '''i''' vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit: | ||
- | :<big>\(e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)</ | + | :<big>\(e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)\)</big> |
Ze znalosti [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus: | Ze znalosti [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus: | ||
- | :<big>\(e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)</ | + | :<big>\(e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)\)</big> |
Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení. | Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení. |
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51
Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:
Význam vzorce
Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu Komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.
Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:
Ze znalosti Taylorovy řady víme, že:
Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem:
Dosaďme za exponent ix:
Nyní mírně přerovnejme sčítance
Ze druhé části vytkněme i:
Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit:
Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:
Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.
[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|