Logaritmická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:49

Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu. ^[1] ^[2]

Příklad, jak může rovnice vypadat:

\((3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4</math>

Obsah

1 Řešení logaritmické rovnice
2 Související články
3 Reference

Řešení logaritmické rovnice

^[3] ^[4]

Jednoduchá rovnice

\(\log_5 \frac{1}{125} = x</math>
Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x</math> čili:
\(5^x = \frac{1}{125}</math>
Nyní to budeme řešit jako exponenciální rovnici o stejném základu. Čili \(125</math> se dá napsat jako \(5^3</math>:
\(5^x = \frac{1}{5^3}</math>
Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen \(5</math>
\(5^x = 5^{-3}</math>
\(x = -3</math>

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Odstraněním logaritmu

\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0</math>
1. Podmínkou je, že \(3x - 5 > 0</math>
2. \(3x > 5</math>
3. \(x > \frac{5}{3}</math>
Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1</math>
\(\frac{1}{7}</math> napíšeme jako exponent:
\(log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1</math>
Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
\((3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1</math>
Z exponentu \(\frac{1}{7}</math> uděláme sedmou odmocninu:
\(\sqrt[7]{3x - 5} = 1</math>
Celou rovnici umocníme na 7:
\(3x - 5 = 1</math>
Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
\(3x = 1 + 5</math>
\(3x = 6</math>
Celou rovnici vydělíme 3:
\(x = 2</math>

Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

S pomocí kalkulačky

\((3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4</math>
Vynásobíme závorky s logaritmem:
\(3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4</math>
Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
\(- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
Vytkneme x:
\(x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
\(x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}</math>
\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}</math>
Vypočítáme na kalkulačce:
\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}</math>
Výsledek je:
\(x = 1</math>

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

\((\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0</math>
Poznámka:
\((\log_2 x)^2 = \log_2^2 x</math>
1. Podmínkou je, že \(x > 0</math>
Zavedeme substituci \(a = \log_2 x</math> čili:
\(a^2 - a - 2 = 0</math>
\((a - 2)(a + 1)</math>
Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
1. \(a_1 = 2</math>
2. \(a_2 = -1</math>
Vyřešíme obě rovnice:
1. \(\log_2 x = 2</math>
  Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x</math> čili:
  \(x = 2^2</math>
  \(x = 4</math>
2. \(\log_2 x = -1</math>
  Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x</math> čili:
  \(x = 2^{-1}</math>
  \(x = \frac{1}{2^1}</math>
  \(x = \frac{1}{2}</math>

Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Související články

Reference

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[0] Logaritmická rovnice - teorie

[1] Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady

[2] Logaritmická rovnice - řešené příklady

[3] Logaritmická rovnice - řešené příklady

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Řádka 5: / Řádka 5: @@
 ''Příklad, jak může rovnice vypadat:''
-<math>(3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4</math>
+<big>\((3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4</math>
 == Řešení logaritmické rovnice ==
@@ Řádka 11: / Řádka 11: @@
 <ref>[http://webvyukacontent.olportal.cz/w-matsbirkass-041215/Logaritmicke_rovnice.htm Logaritmická rovnice - řešené příklady]</ref>
 === Jednoduchá rovnice ===
-# <math>\log_5 \frac{1}{125} = x</math>
+# <big>\(\log_5 \frac{1}{125} = x</math>
-# Z pravidla víme, že <math>y = \log_a x => a^y = x</math> čili:<br /><math>5^x = \frac{1}{125}</math>
+# Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x</math> čili:<br /><big>\(5^x = \frac{1}{125}</math>
-# Nyní to budeme řešit jako [[Exponenciální rovnice|exponenciální rovnici]] o stejném základu. Čili <math>125</math> se dá napsat jako <math>5^3</math>:<br /><math>5^x = \frac{1}{5^3}</math>
+# Nyní to budeme řešit jako [[Exponenciální rovnice|exponenciální rovnici]] o stejném základu. Čili <big>\(125</math> se dá napsat jako <big>\(5^3</math>:<br /><big>\(5^x = \frac{1}{5^3}</math>
-# Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen <math>5</math><br /><math>5^x = 5^{-3}</math>
+# Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen <big>\(5</math><br /><big>\(5^x = 5^{-3}</math>
-# <math>x = -3</math>
+# <big>\(x = -3</math>
 Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
 === Odstraněním logaritmu ===
-# <math>\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0</math>
+# <big>\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0</math>
-## Podmínkou je, že <math>3x - 5 > 0</math>
+## Podmínkou je, že <big>\(3x - 5 > 0</math>
-## <math>3x > 5</math>
+## <big>\(3x > 5</math>
-## <math>x > \frac{5}{3}</math>
+## <big>\(x > \frac{5}{3}</math>
-# Z 0 uděláme [[logaritmus]] o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:<br /><math>\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1</math>
+# Z 0 uděláme [[logaritmus]] o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:<br /><big>\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1</math>
-# <math>\frac{1}{7}</math> napíšeme jako [[Umocňování|exponent]]:<br /><math>log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1</math>
+# <big>\(\frac{1}{7}</math> napíšeme jako [[Umocňování|exponent]]:<br /><big>\(log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1</math>
-# Nyní můžeme odstranit [[logaritmus]] na obou stranách, protože mají stejné základy:<br /><math>(3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1</math>
+# Nyní můžeme odstranit [[logaritmus]] na obou stranách, protože mají stejné základy:<br /><big>\((3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1</math>
-# Z [[exponent]]u <math>\frac{1}{7}</math> uděláme sedmou [[Odmocnina|odmocninu]]:<br /><math>\sqrt[7]{3x - 5} = 1</math>
+# Z [[exponent]]u <big>\(\frac{1}{7}</math> uděláme sedmou [[Odmocnina|odmocninu]]:<br /><big>\(\sqrt[7]{3x - 5} = 1</math>
-# Celou rovnici [[Umocňování|umocníme]] na 7:<br /><math>3x - 5 = 1</math>
+# Celou rovnici [[Umocňování|umocníme]] na 7:<br /><big>\(3x - 5 = 1</math>
-# Nyní to budeme řešit jako [[Lineární rovnice|lineární rovnici]]:<br /><math>3x = 1 + 5</math>
+# Nyní to budeme řešit jako [[Lineární rovnice|lineární rovnici]]:<br /><big>\(3x = 1 + 5</math>
-# <math>3x = 6</math>
+# <big>\(3x = 6</math>
-# Celou [[Rovnice|rovnici]] vydělíme 3:<br /><math>x = 2</math>
+# Celou [[Rovnice|rovnici]] vydělíme 3:<br /><big>\(x = 2</math>
 Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.
 === S pomocí kalkulačky ===
-# <math>(3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4</math>
+# <big>\((3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4</math>
-# Vynásobíme závorky s [[Logaritmus|logaritmem]]:<br /><math>3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4</math>
+# Vynásobíme závorky s [[Logaritmus|logaritmem]]:<br /><big>\(3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4</math>
-# Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu [[Rovnice|rovnice]]:<br /><math>- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
+# Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu [[Rovnice|rovnice]]:<br /><big>\(- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
-# [[Vytýkání|Vytkneme]] x:<br /><math>x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
+# [[Vytýkání|Vytkneme]] x:<br /><big>\(x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2</math>
-# Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><math>x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}</math>
+# Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><big>\(x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}</math>
-# <math>x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}</math>
+# <big>\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}</math>
-# Vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><math>x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}</math>
+# Vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><big>\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}</math>
-# Výsledek je:<br /><math>x = 1</math>
+# Výsledek je:<br /><big>\(x = 1</math>
 Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
 === Substituce ===
-# <math>(\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0</math><br />Poznámka: <math>(\log_2 x)^2 = \log_2^2 x</math>
+# <big>\((\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0</math><br />Poznámka: <big>\((\log_2 x)^2 = \log_2^2 x</math>
-## Podmínkou je, že <math>x > 0</math>
+## Podmínkou je, že <big>\(x > 0</math>
-# Zavedeme [[Substituce (matematika)|substituci]] <math>a = \log_2 x</math> čili:<br /><math>a^2 - a - 2 = 0</math>
+# Zavedeme [[Substituce (matematika)|substituci]] <big>\(a = \log_2 x</math> čili:<br /><big>\(a^2 - a - 2 = 0</math>
-# <math>(a - 2)(a + 1)</math>
+# <big>\((a - 2)(a + 1)</math>
 # Nyní máme výsledky [[Kvadratická rovnice|kvadratické rovnice]]:
-## <math>a_1 = 2</math>
+## <big>\(a_1 = 2</math>
-## <math>a_2 = -1</math>
+## <big>\(a_2 = -1</math>
 # Vyřešíme obě [[rovnice]]:
-## <math>\log_2 x = 2</math>
+## <big>\(\log_2 x = 2</math>
-### Z pravidla víme, že <math>y = \log_a x => a^y = x</math> čili:<br /><math>x = 2^2</math>
+### Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x</math> čili:<br /><big>\(x = 2^2</math>
-### <math>x = 4</math>
+### <big>\(x = 4</math>
-## <math>\log_2 x = -1</math>
+## <big>\(\log_2 x = -1</math>
-### Z pravidla víme, že <math>y = \log_a x => a^y = x</math> čili:<br /><math>x = 2^{-1}</math>
+### Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x</math> čili:<br /><big>\(x = 2^{-1}</math>
-### <math>x = \frac{1}{2^1}</math>
+### <big>\(x = \frac{1}{2^1}</math>
-### <math>x = \frac{1}{2}</math>
+### <big>\(x = \frac{1}{2}</math>
 Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.