Motorem našeho webového serveru bude pekelně rychlý
procesor AMD Ryzen Threadripper 7960X (ZEN 4).
Paprsková rovnice
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 1: | Řádka 1: | ||
'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu|indexem lomu]]. Její tvar je | '''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu|indexem lomu]]. Její tvar je | ||
| - | <big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})</ | + | <big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\)</big>, |
| - | kde <big>\(s</ | + | kde <big>\(s\)</big> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem. |
Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar | Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar | ||
| - | <big>\(n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}</ | + | <big>\(n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}\)</big> |
| - | Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>\(\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}</ | + | Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>\(\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\)</big> je vždy kolmá na <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}\)</big> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky, |
| - | <big>\(\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right|</ | + | <big>\(\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right|\)</big>. |
Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu). | Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu). | ||
| - | Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</ | + | Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}\)</big> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl. |
==Příklady== | ==Příklady== | ||
| - | Speciálně je-li <big>\(\nabla n =0</ | + | Speciálně je-li <big>\(\nabla n =0\)</big>, dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky. |
Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí | Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí | ||
| - | <big>\(n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.</ | + | <big>\(n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.\)</big> |
| - | Což lze přepsat pomocí úhlu <big>\(\alpha</ | + | Což lze přepsat pomocí úhlu <big>\(\alpha\)</big>, který paprsek svírá s osou y do tvaru |
| - | <big>\(n(y) \sin \alpha = konst.</ | + | <big>\(n(y) \sin \alpha = konst.\)</big> |
Z čehož speciálně plyne [[Snellův zákon]] lomu: | Z čehož speciálně plyne [[Snellův zákon]] lomu: | ||
| - | <big>\(n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2</ | + | <big>\(n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2\)</big> |
== Externí odkazy == | == Externí odkazy == | ||
Verze z 14. 8. 2022, 14:53
Paprskovu rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je
\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\),
kde \(s\) je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.
Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar
\(n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}\)
Z diferenciální geometrie je přitom známo, že \(\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\) je vždy kolmá na \(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}\) (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,
\(\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right|\).
Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).
Máme-li tedy zadán směr paprsku \(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}\) v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.
Příklady
Speciálně je-li \(\nabla n =0\), dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.
Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí
\(n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.\)
Což lze přepsat pomocí úhlu \(\alpha\), který paprsek svírá s osou y do tvaru
\(n(y) \sin \alpha = konst.\)
Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu:
\(n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2\)
Externí odkazy
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |