Paprsková rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:53

Paprskovu rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je

$\nabla n = \frac{d}{d s} (n \frac{d \bold r}{d s})$ ,

kde $s$ je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

$n \frac{d^{2} \bold r}{d s^{2}} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{d \bold r}{d s}) \frac{d \bold r}{d s}$

Z diferenciální geometrie je přitom známo, že $\frac{d^{2} \bold r}{d s^{2}}$ je vždy kolmá na $\frac{d \bold r}{d s}$ (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

$\frac{1}{R} = | \frac{d^{2} \bold r}{d s^{2}} |$ .

Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

Máme-li tedy zadán směr paprsku $\frac{d \bold r}{d s}$ v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

Příklady

Speciálně je-li $\nabla n = 0$ , dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí

$n (y) \frac{d x}{d s} = k o n s t .$

Což lze přepsat pomocí úhlu $α$ , který paprsek svírá s osou y do tvaru

$n (y) \sin α = k o n s t .$

Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu:

$n_{1} \sin α_{1} = n_{2} \sin α_{2}$

Externí odkazy

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
 '''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu|indexem lomu]]. Její tvar je
-<big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})</math>,
+<big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\)</big>,
-kde <big>\(s</math> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.
+kde <big>\(s\)</big> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.
 Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar
-<big>\(n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}</math>
+<big>\(n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}\)</big>
-Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>\(\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}</math> je vždy kolmá na <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</math> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,
+Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>\(\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\)</big> je vždy kolmá na <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}\)</big> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,
-<big>\(\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right|</math>.
+<big>\(\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right|\)</big>.
 Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu,  ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).
-Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</math> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.
+Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}\)</big> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.
 ==Příklady==
-Speciálně je-li <big>\(\nabla n =0</math>, dostáváme nulovou křivost v  každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.
+Speciálně je-li <big>\(\nabla n =0\)</big>, dostáváme nulovou křivost v  každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.
 Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí
-<big>\(n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.</math>
+<big>\(n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.\)</big>
-Což lze přepsat pomocí úhlu <big>\(\alpha</math>, který paprsek svírá s osou y do tvaru
+Což lze přepsat pomocí úhlu <big>\(\alpha\)</big>, který paprsek svírá s osou y do tvaru
-<big>\(n(y) \sin \alpha = konst.</math>
+<big>\(n(y) \sin \alpha = konst.\)</big>
 Z čehož speciálně plyne [[Snellův zákon]] lomu:
-<big>\(n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2</math>
+<big>\(n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2\)</big>
 == Externí odkazy ==