Logaritmická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu. ^{[1] [2]}

Příklad, jak může rovnice vypadat:

\((3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4\)

Řešení logaritmické rovnice

^{[3] [4]}

Jednoduchá rovnice

1. \(\log_5 \frac{1}{125} = x\)
2. Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
   \(5^x = \frac{1}{125}\)
3. Nyní to budeme řešit jako exponenciální rovnici o stejném základu. Čili \(125\) se dá napsat jako \(5^3\):
   \(5^x = \frac{1}{5^3}\)
4. Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen \(5\)
   \(5^x = 5^{-3}\)
5. \(x = -3\)

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Odstraněním logaritmu

1. \(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0\)
   1. Podmínkou je, že \(3x - 5 > 0\)
   2. \(3x > 5\)
   3. \(x > \frac{5}{3}\)
2. Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
   \(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1\)
3. \(\frac{1}{7}\) napíšeme jako exponent:
   \(log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1\)
4. Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
   \((3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1\)
5. Z exponentu \(\frac{1}{7}\) uděláme sedmou odmocninu:
   \(\sqrt[7]{3x - 5} = 1\)
6. Celou rovnici umocníme na 7:
   \(3x - 5 = 1\)
7. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
   \(3x = 1 + 5\)
8. \(3x = 6\)
9. Celou rovnici vydělíme 3:
   \(x = 2\)

Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

S pomocí kalkulačky

1. \((3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4\)
2. Vynásobíme závorky s logaritmem:
   \(3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4\)
3. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
   \(- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)
4. Vytkneme x:
   \(x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)
5. Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
   \(x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}\)
6. \(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}\)
7. Vypočítáme na kalkulačce:
   \(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}\)
8. Výsledek je:
   \(x = 1\)

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

1. \((\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0\)
   Poznámka: \((\log_2 x)^2 = \log_2^2 x\)
   1. Podmínkou je, že \(x > 0\)
2. Zavedeme substituci \(a = \log_2 x\) čili:
   \(a^2 - a - 2 = 0\)
3. \((a - 2)(a + 1)\)
4. Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
   1. \(a_1 = 2\)
   2. \(a_2 = -1\)
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. \(\log_2 x = 2\)
      1. Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
         \(x = 2^2\)
      2. \(x = 4\)
   2. \(\log_2 x = -1\)
      1. Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
         \(x = 2^{-1}\)
      2. \(x = \frac{1}{2^1}\)
      3. \(x = \frac{1}{2}\)

Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Související články

• Logaritmus
• Rovnice
• Lineární rovnice
• Exponenciální rovnice
  • Umocňování
• Substituce (matematika)
• Kvadratická rovnice
• Vytýkání

Reference

1. ↑ Logaritmická rovnice - teorie
2. ↑ Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady
3. ↑ Logaritmická rovnice - řešené příklady
4. ↑ Logaritmická rovnice - řešené příklady