Ordinální aritmetika

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (→Definice ordinální mocniny: Heureka)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
Řádka 7: Řádka 7:
== Definice ordinálního součtu a součinu ==
== Definice ordinálního součtu a součinu ==
-
Jsou-li <math> \alpha \,\!</math> a <math> \beta \,\!</math> dvě ordinální čísla, pak:
+
Jsou-li <big>\( \alpha \,\!</math> a <big>\( \beta \,\!</math> dvě ordinální čísla, pak:
-
* jako <math> \alpha + \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <math> ( \{ 0 \} \times \alpha ) \cup ( \{ 1 \} \times \beta ) </math> v [[Lexikografické uspořádání|lexikografickém uspořádání]]
+
* jako <big>\( \alpha + \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <big>\( ( \{ 0 \} \times \alpha ) \cup ( \{ 1 \} \times \beta ) </math> v [[Lexikografické uspořádání|lexikografickém uspořádání]]
-
* jako <math> \alpha . \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <math> \beta \times \alpha </math> v [[Lexikografické uspořádání|lexikografickém uspořádání]].
+
* jako <big>\( \alpha . \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <big>\( \beta \times \alpha </math> v [[Lexikografické uspořádání|lexikografickém uspořádání]].
-
Typem [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádané množiny]] se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací <math> \isin </math> [[Izomorfismus|izomorfní]] s touto množinou - jedním z poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.
+
Typem [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádané množiny]] se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací <big>\( \isin </math> [[Izomorfismus|izomorfní]] s touto množinou - jedním z poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.
=== Příklady součtu dvou ordinálních čísel ===
=== Příklady součtu dvou ordinálních čísel ===
Součet 3 + 2:<br />
Součet 3 + 2:<br />
-
<math> ( \{ 0 \} \times 3) \cup ( \{ 1 \} \times 2) = </math><br />
+
<big>\( ( \{ 0 \} \times 3) \cup ( \{ 1 \} \times 2) = </math><br />
-
<math> ( \{ 0 \} \times \{ 0,1,2 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1 \}) = </math><br />
+
<big>\( ( \{ 0 \} \times \{ 0,1,2 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1 \}) = </math><br />
-
<math> \{ [0,0],[0,1],[0,2] \} \cup \{ [1,0],[1,1] \} = </math><br />
+
<big>\( \{ [0,0],[0,1],[0,2] \} \cup \{ [1,0],[1,1] \} = </math><br />
-
<math> \{ [0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1] \} \,\!</math><br />
+
<big>\( \{ [0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1] \} \,\!</math><br />
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání (tj. napřed podle prvního a pak podle druhého prvku uspořádané dvojice) je ordinál 5, takže 2 + 3 = 5, což vypadá docela povědomě.
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání (tj. napřed podle prvního a pak podle druhého prvku uspořádané dvojice) je ordinál 5, takže 2 + 3 = 5, což vypadá docela povědomě.
-
Součet <math> 1 + \omega_0 \,\!</math> (jako <math> \omega_0 \,\!</math> se značí množina všech přirozených čísel)<br />
+
Součet <big>\( 1 + \omega_0 \,\!</math> (jako <big>\( \omega_0 \,\!</math> se značí množina všech přirozených čísel)<br />
-
<math> ( \{ 0 \} \times 1) \cup ( \{ 1 \} \times \omega_0 ) = </math><br />
+
<big>\( ( \{ 0 \} \times 1) \cup ( \{ 1 \} \times \omega_0 ) = </math><br />
-
<math> ( \{ 0 \} \times \{ 0 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1,2,3,... \} ) = </math><br />
+
<big>\( ( \{ 0 \} \times \{ 0 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1,2,3,... \} ) = </math><br />
-
<math> \{ [0,0] \} \cup \{ [1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} = </math><br />
+
<big>\( \{ [0,0] \} \cup \{ [1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} = </math><br />
-
<math> \{ [0,0],[1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} \,\!</math><br />
+
<big>\( \{ [0,0],[1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} \,\!</math><br />
-
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání je <math> \omega_0 \,\!</math>, takže <math> 1 + \omega_0 = \omega_0 \,\!</math>. Tady už je to s tou povědomostí horší - když něco zleva přičtu k množině všech přirozených čísel, dostanu opět množinu přirozených čísel.
+
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání je <big>\( \omega_0 \,\!</math>, takže <big>\( 1 + \omega_0 = \omega_0 \,\!</math>. Tady už je to s tou povědomostí horší - když něco zleva přičtu k množině všech přirozených čísel, dostanu opět množinu přirozených čísel.
-
Doporučuji každému, aby si zkusil podle definice rozepsat <math> \omega_0 + 1 \,\!</math>. Dojde k překvapivému zjištění:<br />
+
Doporučuji každému, aby si zkusil podle definice rozepsat <big>\( \omega_0 + 1 \,\!</math>. Dojde k překvapivému zjištění:<br />
-
<math> 1 + \omega_0 = \omega_0 < \omega_0 + 1 \,\!</math>
+
<big>\( 1 + \omega_0 = \omega_0 < \omega_0 + 1 \,\!</math>
=== Příklady součinu dvou ordinálních čísel ===
=== Příklady součinu dvou ordinálních čísel ===
Součin 3.2: <br />
Součin 3.2: <br />
-
<math> 2 \times 3 = \{ 0,1 \} \times \{ 0,1,2 \} = </math><br />  
+
<big>\( 2 \times 3 = \{ 0,1 \} \times \{ 0,1,2 \} = </math><br />  
-
<math> \{[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2] \} \,\!</math><br />
+
<big>\( \{[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2] \} \,\!</math><br />
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je číslo 6.
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je číslo 6.
-
Součin <math> 2.\omega_0 \,\!</math><br />:
+
Součin <big>\( 2.\omega_0 \,\!</math><br />:
-
<math> \omega_0 \times 2 = \{ 0,1,2,... \} \times \{ 0,1 \} = \,\! </math><br />
+
<big>\( \omega_0 \times 2 = \{ 0,1,2,... \} \times \{ 0,1 \} = \,\! </math><br />
-
<math> \{ [0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[2,0],... \} \,\! </math><br />
+
<big>\( \{ [0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[2,0],... \} \,\! </math><br />
-
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je <math> \omega_0 \,\!</math>.
+
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je <big>\( \omega_0 \,\!</math>.
-
Obrátím-li poslední příklad na <math> \omega_0 . 2 \,\!</math>, dostávám množinu<br />
+
Obrátím-li poslední příklad na <big>\( \omega_0 . 2 \,\!</math>, dostávám množinu<br />
-
<math> \{ [0,0],[0,1],[0,2],...,[1,0],[1,1],[1,2],... \} \,\!</math>, <br />
+
<big>\( \{ [0,0],[0,1],[0,2],...,[1,0],[1,1],[1,2],... \} \,\!</math>, <br />
-
jejímž typem již není <math> \omega_0 \,\!</math>, ale větší ordinální číslo <math> \omega_0 + \omega_0 = \omega_0 . 2 \,\!</math>
+
jejímž typem již není <big>\( \omega_0 \,\!</math>, ale větší ordinální číslo <big>\( \omega_0 + \omega_0 = \omega_0 . 2 \,\!</math>
-
Rozhodně opět <math> 2 . \omega_0 < \omega_0 . 2 \,\! </math>.
+
Rozhodně opět <big>\( 2 . \omega_0 < \omega_0 . 2 \,\! </math>.
== Vlastnosti ordinálního součtu a součinu ==
== Vlastnosti ordinálního součtu a součinu ==
Řádka 52: Řádka 52:
Zajímavější začíná být situace na nekonečných ordinálech, kde se již toto chování liší - součet ani součin nejsou [[komutativní]] a ordinální součin je [[distributivita|distributivní]] pouze zleva:<br />
Zajímavější začíná být situace na nekonečných ordinálech, kde se již toto chování liší - součet ani součin nejsou [[komutativní]] a ordinální součin je [[distributivita|distributivní]] pouze zleva:<br />
-
<math> ( \forall \alpha, \beta, \gamma) ( \alpha.(\beta + \gamma) = \alpha.\beta + \alpha.\gamma) </math><br />
+
<big>\( ( \forall \alpha, \beta, \gamma) ( \alpha.(\beta + \gamma) = \alpha.\beta + \alpha.\gamma) </math><br />
Opačně to ale neplatí, protože například:
Opačně to ale neplatí, protože například:
-
<math> (1 + 1).\omega_0 = 2.\omega_0 \neq 1.\omega_0 + 1.\omega_0 = \omega_0.2 </math> - viz předchozí příklady.
+
<big>\( (1 + 1).\omega_0 = 2.\omega_0 \neq 1.\omega_0 + 1.\omega_0 = \omega_0.2 </math> - viz předchozí příklady.
Uveďme některé další vlastnosti ordinálního součtu a součinu (všechny lze snadno odvodit přímo z definice stejně, jako v předchozích příkladech):<br />
Uveďme některé další vlastnosti ordinálního součtu a součinu (všechny lze snadno odvodit přímo z definice stejně, jako v předchozích příkladech):<br />
-
* <math> \alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha \,\!</math>
+
* <big>\( \alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha \,\!</math>
-
* <math> \alpha . 0 = 0 . \alpha = 0 \,\!</math>
+
* <big>\( \alpha . 0 = 0 . \alpha = 0 \,\!</math>
-
* <math> \alpha . 1 = 1 . \alpha = \alpha \,\!</math>
+
* <big>\( \alpha . 1 = 1 . \alpha = \alpha \,\!</math>
-
* <math> \alpha + ( \beta + \gamma) = ( \alpha + \beta) + \gamma \,\!</math>
+
* <big>\( \alpha + ( \beta + \gamma) = ( \alpha + \beta) + \gamma \,\!</math>
-
* <math> \alpha . ( \beta . \gamma) = ( \alpha . \beta) . \gamma \,\!</math>
+
* <big>\( \alpha . ( \beta . \gamma) = ( \alpha . \beta) . \gamma \,\!</math>
A na závěr ještě něco, co vypadá trochu jako zbytek po dělení na přirozených číslech:<br />
A na závěr ještě něco, co vypadá trochu jako zbytek po dělení na přirozených číslech:<br />
-
Pro každé dva ordinály <math> \alpha, \beta, \beta > 0 \,\!</math> existují <math> \gamma_1 \leq \alpha, \gamma_2 < \beta \,\!</math> takové, že<br />
+
Pro každé dva ordinály <big>\( \alpha, \beta, \beta > 0 \,\!</math> existují <big>\( \gamma_1 \leq \alpha, \gamma_2 < \beta \,\!</math> takové, že<br />
-
<math> \alpha = \beta . \gamma_1 + \gamma_2 \,\!</math>
+
<big>\( \alpha = \beta . \gamma_1 + \gamma_2 \,\!</math>
== Definice ordinální mocniny ==
== Definice ordinální mocniny ==
'''Ordinální mocnina''' mocnina je opět rozšířením své jmenovkyně známé z přirozených čísel, definuje se rekurzivně následujícím způsobem:<br />
'''Ordinální mocnina''' mocnina je opět rozšířením své jmenovkyně známé z přirozených čísel, definuje se rekurzivně následujícím způsobem:<br />
-
# <math> \alpha^0 = 1 \,\!</math>
+
# <big>\( \alpha^0 = 1 \,\!</math>
-
# <math> \alpha^{\beta + 1} = \alpha^{\beta} . \alpha \,\!</math>
+
# <big>\( \alpha^{\beta + 1} = \alpha^{\beta} . \alpha \,\!</math>
-
# pro [[limitní ordinál]] <math> \beta \,\!</math> je <math> \alpha^{\beta} = sup \{ \alpha^{\gamma} : 0 < \gamma < \beta \} \,\!</math><br />'''sup''' v tomto výrazu znamená [[supremum]] dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací <math> \in </math>
+
# pro [[limitní ordinál]] <big>\( \beta \,\!</math> je <big>\( \alpha^{\beta} = sup \{ \alpha^{\gamma} : 0 < \gamma < \beta \} \,\!</math><br />'''sup''' v tomto výrazu znamená [[supremum]] dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací <big>\( \in </math>
== Vlastnosti ordinální mocniny ==
== Vlastnosti ordinální mocniny ==
Ordinální mocnina má opět řadu vlastností, které bychom od aritmetické operace toho jména čekali:<br />
Ordinální mocnina má opět řadu vlastností, které bychom od aritmetické operace toho jména čekali:<br />
-
* <math> 0^0 = 1 \,\!</math>
+
* <big>\( 0^0 = 1 \,\!</math>
-
* <math> 0^{\alpha} = 0 \,\!</math> pro <math> \alpha > 0 \,\!</math>
+
* <big>\( 0^{\alpha} = 0 \,\!</math> pro <big>\( \alpha > 0 \,\!</math>
-
* <math> 1^{\alpha} = 1 \,\!</math>
+
* <big>\( 1^{\alpha} = 1 \,\!</math>
-
* <math> \alpha^1 = \alpha \,\!</math>
+
* <big>\( \alpha^1 = \alpha \,\!</math>
-
* <math> \alpha^2 = \alpha . \alpha \,\!</math>
+
* <big>\( \alpha^2 = \alpha . \alpha \,\!</math>
A především:
A především:
-
* <math> \alpha^{\beta + \gamma} = \alpha^{\beta} . \alpha^{\gamma} \,\!</math>
+
* <big>\( \alpha^{\beta + \gamma} = \alpha^{\beta} . \alpha^{\gamma} \,\!</math>
-
* <math> (\alpha^{\beta})^{\gamma} = \alpha^{\beta.\gamma} \,\!</math>
+
* <big>\( (\alpha^{\beta})^{\gamma} = \alpha^{\beta.\gamma} \,\!</math>
== Mocninný rozvoj ordinálního čísla ==
== Mocninný rozvoj ordinálního čísla ==
-
Na závěr ještě uveďme větu o mocninném rozvoji ordinálních čísel (konkrétně pro základ <math> \omega_0 \,\!</math> - opět lze srovnávat s mocninným rozvojem na přirozených číslech například ze základu 2:
+
Na závěr ještě uveďme větu o mocninném rozvoji ordinálních čísel (konkrétně pro základ <big>\( \omega_0 \,\!</math> - opět lze srovnávat s mocninným rozvojem na přirozených číslech například ze základu 2:
-
Je-li <math> \omega = \omega_0 \,\!</math> množina přirozených čísel a <math> \alpha \,\!</math> libovolný ordinál, pak existují jednoznačně daná přirozená čísla <math> k, m_0, m_1,...,m_k \,\!</math> a ordinály <math> \beta_0 > \beta_1 > \beta_2 >...> \beta_k \,\!</math> takové, že platí:<br />
+
Je-li <big>\( \omega = \omega_0 \,\!</math> množina přirozených čísel a <big>\( \alpha \,\!</math> libovolný ordinál, pak existují jednoznačně daná přirozená čísla <big>\( k, m_0, m_1,...,m_k \,\!</math> a ordinály <big>\( \beta_0 > \beta_1 > \beta_2 >...> \beta_k \,\!</math> takové, že platí:<br />
-
<math> \alpha = \omega^{\beta_0}.m_0 + \omega^{\beta_1}.m_1 + ... + \omega^{\beta_k}.m_k \,\!</math>
+
<big>\( \alpha = \omega^{\beta_0}.m_0 + \omega^{\beta_1}.m_1 + ... + \omega^{\beta_k}.m_k \,\!</math>
Tento zápis nazýváme '''Cantorův normální tvar''' ordinálního čísla.
Tento zápis nazýváme '''Cantorův normální tvar''' ordinálního čísla.
-
Pro vyjádření čísla <math>\,\alpha</math> v Cantorově normálním tvaru platí <math>\alpha\geq\beta_0</math>, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když <math>\,\alpha=\omega^\alpha</math>. Takových <math>\,\alpha</math> existuje dokonce [[vlastní třída]], nejmenší z nich se nazývá <math>\varepsilon_0</math>. Pro <math>\,\alpha<\varepsilon_0</math> tedy je <math>\,\alpha>\beta_0</math>, což umožňuje často používanou metodu dokazování – takzvanou indukci do epsilon nula.
+
Pro vyjádření čísla <big>\(\,\alpha</math> v Cantorově normálním tvaru platí <big>\(\alpha\geq\beta_0</math>, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když <big>\(\,\alpha=\omega^\alpha</math>. Takových <big>\(\,\alpha</math> existuje dokonce [[vlastní třída]], nejmenší z nich se nazývá <big>\(\varepsilon_0</math>. Pro <big>\(\,\alpha<\varepsilon_0</math> tedy je <big>\(\,\alpha>\beta_0</math>, což umožňuje často používanou metodu dokazování – takzvanou indukci do epsilon nula.
== Související články ==
== Související články ==

Verze z 14. 8. 2022, 14:49

Ordinální aritmetika je jednou z disciplín klasické teorie množin. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací (sčítání, násobení, mocnění) z přirozených čísel na všechna ordinální čísla (včetně nekonečných). Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných dobrých uspořádání. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin - tím se zabývá kardinální aritmetika.

V celém článku jsou písmena ze začátku řecké alfabety používána pro označení ordinálů.

Obsah

Ordinální čísla a jejich vlastnosti

Základní definice a vlastnosti ordinálních čísel najdete v článku Ordinální číslo.

Definice ordinálního součtu a součinu

Jsou-li \( \alpha \,\!</math> a \( \beta \,\!</math> dvě ordinální čísla, pak:

  • jako \( \alpha + \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny \( ( \{ 0 \} \times \alpha ) \cup ( \{ 1 \} \times \beta ) </math> v lexikografickém uspořádání
  • jako \( \alpha . \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny \( \beta \times \alpha </math> v lexikografickém uspořádání.

Typem dobře uspořádané množiny se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací \( \isin </math> izomorfní s touto množinou - jedním z poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.

Příklady součtu dvou ordinálních čísel

Součet 3 + 2:
\( ( \{ 0 \} \times 3) \cup ( \{ 1 \} \times 2) = </math>
\( ( \{ 0 \} \times \{ 0,1,2 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1 \}) = </math>
\( \{ [0,0],[0,1],[0,2] \} \cup \{ [1,0],[1,1] \} = </math>
\( \{ [0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1] \} \,\!</math>
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání (tj. napřed podle prvního a pak podle druhého prvku uspořádané dvojice) je ordinál 5, takže 2 + 3 = 5, což vypadá docela povědomě.

Součet \( 1 + \omega_0 \,\!</math> (jako \( \omega_0 \,\!</math> se značí množina všech přirozených čísel)
\( ( \{ 0 \} \times 1) \cup ( \{ 1 \} \times \omega_0 ) = </math>
\( ( \{ 0 \} \times \{ 0 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1,2,3,... \} ) = </math>
\( \{ [0,0] \} \cup \{ [1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} = </math>
\( \{ [0,0],[1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} \,\!</math>
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání je \( \omega_0 \,\!</math>, takže \( 1 + \omega_0 = \omega_0 \,\!</math>. Tady už je to s tou povědomostí horší - když něco zleva přičtu k množině všech přirozených čísel, dostanu opět množinu přirozených čísel.

Doporučuji každému, aby si zkusil podle definice rozepsat \( \omega_0 + 1 \,\!</math>. Dojde k překvapivému zjištění:
\( 1 + \omega_0 = \omega_0 < \omega_0 + 1 \,\!</math>

Příklady součinu dvou ordinálních čísel

Součin 3.2:
\( 2 \times 3 = \{ 0,1 \} \times \{ 0,1,2 \} = </math>
\( \{[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2] \} \,\!</math>
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je číslo 6.

Součin \( 2.\omega_0 \,\!</math>
: \( \omega_0 \times 2 = \{ 0,1,2,... \} \times \{ 0,1 \} = \,\! </math>
\( \{ [0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[2,0],... \} \,\! </math>
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je \( \omega_0 \,\!</math>.

Obrátím-li poslední příklad na \( \omega_0 . 2 \,\!</math>, dostávám množinu
\( \{ [0,0],[0,1],[0,2],...,[1,0],[1,1],[1,2],... \} \,\!</math>,
jejímž typem již není \( \omega_0 \,\!</math>, ale větší ordinální číslo \( \omega_0 + \omega_0 = \omega_0 . 2 \,\!</math>

Rozhodně opět \( 2 . \omega_0 < \omega_0 . 2 \,\! </math>.

Vlastnosti ordinálního součtu a součinu

Ordinální součet a součin je definován tak, aby na přirozených číslech (tj. v našem případě na konečných ordinálech) dával stejné výsledky jako běžný aritmetický součet a součin v Peanově aritmetice. Dá se dokonce ukázat, že ordinální aritmetika na konečných ordinálech je modelem Peanovy aritmetiky.

Zajímavější začíná být situace na nekonečných ordinálech, kde se již toto chování liší - součet ani součin nejsou komutativní a ordinální součin je distributivní pouze zleva:
\( ( \forall \alpha, \beta, \gamma) ( \alpha.(\beta + \gamma) = \alpha.\beta + \alpha.\gamma) </math>
Opačně to ale neplatí, protože například: \( (1 + 1).\omega_0 = 2.\omega_0 \neq 1.\omega_0 + 1.\omega_0 = \omega_0.2 </math> - viz předchozí příklady.

Uveďme některé další vlastnosti ordinálního součtu a součinu (všechny lze snadno odvodit přímo z definice stejně, jako v předchozích příkladech):

  • \( \alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha \,\!</math>
  • \( \alpha . 0 = 0 . \alpha = 0 \,\!</math>
  • \( \alpha . 1 = 1 . \alpha = \alpha \,\!</math>
  • \( \alpha + ( \beta + \gamma) = ( \alpha + \beta) + \gamma \,\!</math>
  • \( \alpha . ( \beta . \gamma) = ( \alpha . \beta) . \gamma \,\!</math>

A na závěr ještě něco, co vypadá trochu jako zbytek po dělení na přirozených číslech:
Pro každé dva ordinály \( \alpha, \beta, \beta > 0 \,\!</math> existují \( \gamma_1 \leq \alpha, \gamma_2 < \beta \,\!</math> takové, že
\( \alpha = \beta . \gamma_1 + \gamma_2 \,\!</math>

Definice ordinální mocniny

Ordinální mocnina mocnina je opět rozšířením své jmenovkyně známé z přirozených čísel, definuje se rekurzivně následujícím způsobem:

  1. \( \alpha^0 = 1 \,\!</math>
  2. \( \alpha^{\beta + 1} = \alpha^{\beta} . \alpha \,\!</math>
  3. pro limitní ordinál \( \beta \,\!</math> je \( \alpha^{\beta} = sup \{ \alpha^{\gamma} : 0 < \gamma < \beta \} \,\!</math>
    sup v tomto výrazu znamená supremum dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací \( \in </math>

Vlastnosti ordinální mocniny

Ordinální mocnina má opět řadu vlastností, které bychom od aritmetické operace toho jména čekali:

  • \( 0^0 = 1 \,\!</math>
  • \( 0^{\alpha} = 0 \,\!</math> pro \( \alpha > 0 \,\!</math>
  • \( 1^{\alpha} = 1 \,\!</math>
  • \( \alpha^1 = \alpha \,\!</math>
  • \( \alpha^2 = \alpha . \alpha \,\!</math>

A především:

  • \( \alpha^{\beta + \gamma} = \alpha^{\beta} . \alpha^{\gamma} \,\!</math>
  • \( (\alpha^{\beta})^{\gamma} = \alpha^{\beta.\gamma} \,\!</math>

Mocninný rozvoj ordinálního čísla

Na závěr ještě uveďme větu o mocninném rozvoji ordinálních čísel (konkrétně pro základ \( \omega_0 \,\!</math> - opět lze srovnávat s mocninným rozvojem na přirozených číslech například ze základu 2:

Je-li \( \omega = \omega_0 \,\!</math> množina přirozených čísel a \( \alpha \,\!</math> libovolný ordinál, pak existují jednoznačně daná přirozená čísla \( k, m_0, m_1,...,m_k \,\!</math> a ordinály \( \beta_0 > \beta_1 > \beta_2 >...> \beta_k \,\!</math> takové, že platí:
\( \alpha = \omega^{\beta_0}.m_0 + \omega^{\beta_1}.m_1 + ... + \omega^{\beta_k}.m_k \,\!</math>

Tento zápis nazýváme Cantorův normální tvar ordinálního čísla.

Pro vyjádření čísla \(\,\alpha</math> v Cantorově normálním tvaru platí \(\alpha\geq\beta_0</math>, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když \(\,\alpha=\omega^\alpha</math>. Takových \(\,\alpha</math> existuje dokonce vlastní třída, nejmenší z nich se nazývá \(\varepsilon_0</math>. Pro \(\,\alpha<\varepsilon_0</math> tedy je \(\,\alpha>\beta_0</math>, což umožňuje často používanou metodu dokazování – takzvanou indukci do epsilon nula.

Související články


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Ordin%C3%A1ln%C3%AD_aritmetika“