Střední hodnota

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá populační průměr.

Střední hodnota náhodné veličiny \(X\) se značí \(\operatorname{E}X\), \(\operatorname{E}(X)\) nebo také \(\langle X\rangle\).

Obsah

1 Definice
2 Vlastnosti
3 Příklady
- 3.1 Diskrétní náhodná veličina
- 3.2 Spojitá náhodná veličina
4 Související články

Definice

Střední hodnota je parametr rozdělení náhodné veličiny, který je definován jako vážený průměr daného rozdělení. V řeči teorie míry se jedná o hodnotu

\(\operatorname{E}X = \int_{R} x \mathrm{d}P(x)\),

kde \(P\) je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny \(X\). Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně:

Má-li náhodná veličina \(X\) spojité rozdělení s hustotou rozdělení \(f(x)\), pak

\(\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \mathrm{d}x\).

Má-li náhodná veličina \(X\) diskrétní rozdělení kde \(P[X=s_{i}]=p_{i}\) pro \(i \in I\) nejvýše spočetnou množinu různých výsledků, pak

\(\operatorname{E}X = \sum_{I} s_{i} p_{i}\)

Vlastnosti

Střední hodnota konstanty \(c\) je

\(\operatorname{E}(c)=c\)

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny \(X\) a konstanty \(c\) platí

\(\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)\)

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin \(X, Y\) je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy

\(\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y)\)

Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny \(X, Y\) je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.

\(\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)\)

Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!

Příklady

Diskrétní náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x. Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 2: / Řádka 2: @@
 '''Střední hodnota''' je nejznámější [[míra polohy]] ve [[statistika|statistice]]. Často se nazývá ''populační průměr''.
-Střední hodnota [[náhodná veličina|náhodné veličiny]] <math>X</math> se značí <math>\operatorname{E}X</math>, <math>\operatorname{E}(X)</math> nebo také <math>\langle X\rangle</math>.
+Střední hodnota [[náhodná veličina|náhodné veličiny]] <big>\(X\)</big> se značí <big>\(\operatorname{E}X\)</big>, <big>\(\operatorname{E}(X)\)</big> nebo také <big>\(\langle X\rangle\)</big>.
 == Definice ==
 Střední hodnota je parametr [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] [[náhodná veličina|náhodné veličiny]], který je definován jako [[vážený průměr]] daného rozdělení. V řeči [[teorie míry]] se jedná o hodnotu
-:<math>\operatorname{E}X = \int_{R} x \mathrm{d}P(x)</math>,
+:<big>\(\operatorname{E}X = \int_{R} x \mathrm{d}P(x)\)</big>,
-kde <math>P</math> je pravděpodobnostní míra určující [[rozdělení náhodné veličiny]] <math>X</math>. Pokud výraz na pravé straně [[absolutní konvergence|nekonverguje absolutně]], pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.
+kde <big>\(P\)</big> je pravděpodobnostní míra určující [[rozdělení náhodné veličiny]] <big>\(X\)</big>. Pokud výraz na pravé straně [[absolutní konvergence|nekonverguje absolutně]], pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.
 Speciálně:
-* Má-li náhodná veličina <math>X</math> [[spojité rozdělení]] s [[hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustotou rozdělení]] <math>f(x)</math>, pak
+* Má-li náhodná veličina <big>\(X\)</big> [[spojité rozdělení]] s [[hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustotou rozdělení]] <big>\(f(x)\)</big>, pak
-:<math>\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \mathrm{d}x</math>.
+:<big>\(\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \mathrm{d}x\)</big>.
-* Má-li náhodná veličina <math>X</math> [[diskrétní rozdělení]] kde <math>P[X=s_{i}]=p_{i}</math> pro <math>i \in I</math> nejvýše [[spočetná množina|spočetnou množinu]] různých výsledků, pak
+* Má-li náhodná veličina <big>\(X\)</big> [[diskrétní rozdělení]] kde <big>\(P[X=s_{i}]=p_{i}\)</big> pro <big>\(i \in I\)</big> nejvýše [[spočetná množina|spočetnou množinu]] různých výsledků, pak
-:<math>\operatorname{E}X = \sum_{I} s_{i} p_{i}</math>
+:<big>\(\operatorname{E}X = \sum_{I} s_{i} p_{i}\)</big>
 == Vlastnosti ==
-Střední hodnota [[konstanta|konstanty]] <math>c</math> je
+Střední hodnota [[konstanta|konstanty]] <big>\(c\)</big> je
-:<math>\operatorname{E}(c)=c</math>
+:<big>\(\operatorname{E}(c)=c\)</big>
-Pro střední hodnotu [[součin]]u náhodné veličiny <math>X</math> a konstanty <math>c</math> platí
+Pro střední hodnotu [[součin]]u náhodné veličiny <big>\(X\)</big> a konstanty <big>\(c\)</big> platí
-:<math>\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)</math>
+:<big>\(\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)\)</big>
-Střední hodnota [[Sčítání|součtu]] dvou náhodných veličin <math>X, Y</math> je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy
+Střední hodnota [[Sčítání|součtu]] dvou náhodných veličin <big>\(X, Y\)</big> je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy
-:<math>\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y)</math>
+:<big>\(\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y)\)</big>
 Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.
-Pro [[nezávislé jevy|nezávislé náhodné veličiny]] <math>X, Y</math> je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.
+Pro [[nezávislé jevy|nezávislé náhodné veličiny]] <big>\(X, Y\)</big> je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.
-:<math>\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)</math>
+:<big>\(\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)\)</big>
 Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!