V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
Logaritmická rovnice
Z Multimediaexpo.cz
(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Masivní vylepšení) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze.) | |||
Řádka 5: | Řádka 5: | ||
''Příklad, jak může rovnice vypadat:'' | ''Příklad, jak může rovnice vypadat:'' | ||
- | < | + | <big>\((3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4\)</big> |
== Řešení logaritmické rovnice == | == Řešení logaritmické rovnice == | ||
Řádka 11: | Řádka 11: | ||
<ref>[http://webvyukacontent.olportal.cz/w-matsbirkass-041215/Logaritmicke_rovnice.htm Logaritmická rovnice - řešené příklady]</ref> | <ref>[http://webvyukacontent.olportal.cz/w-matsbirkass-041215/Logaritmicke_rovnice.htm Logaritmická rovnice - řešené příklady]</ref> | ||
=== Jednoduchá rovnice === | === Jednoduchá rovnice === | ||
- | # < | + | # <big>\(\log_5 \frac{1}{125} = x\)</big> |
- | # Z pravidla víme, že < | + | # Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x\)</big> čili:<br /><big>\(5^x = \frac{1}{125}\)</big> |
- | # Nyní to budeme řešit jako [[Exponenciální rovnice|exponenciální rovnici]] o stejném základu. Čili < | + | # Nyní to budeme řešit jako [[Exponenciální rovnice|exponenciální rovnici]] o stejném základu. Čili <big>\(125\)</big> se dá napsat jako <big>\(5^3\)</big>:<br /><big>\(5^x = \frac{1}{5^3}\)</big> |
- | # Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen < | + | # Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen <big>\(5\)</big><br /><big>\(5^x = 5^{-3}\)</big> |
- | # < | + | # <big>\(x = -3\)</big> |
Tím je vyřešená logaritmická rovnice. | Tím je vyřešená logaritmická rovnice. | ||
=== Odstraněním logaritmu === | === Odstraněním logaritmu === | ||
- | # < | + | # <big>\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0\)</big> |
- | ## Podmínkou je, že < | + | ## Podmínkou je, že <big>\(3x - 5 > 0\)</big> |
- | ## < | + | ## <big>\(3x > 5\)</big> |
- | ## < | + | ## <big>\(x > \frac{5}{3}\)</big> |
- | # Z 0 uděláme [[logaritmus]] o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:<br />< | + | # Z 0 uděláme [[logaritmus]] o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:<br /><big>\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1\)</big> |
- | # < | + | # <big>\(\frac{1}{7}\)</big> napíšeme jako [[Umocňování|exponent]]:<br /><big>\(log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1\)</big> |
- | # Nyní můžeme odstranit [[logaritmus]] na obou stranách, protože mají stejné základy:<br />< | + | # Nyní můžeme odstranit [[logaritmus]] na obou stranách, protože mají stejné základy:<br /><big>\((3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1\)</big> |
- | # Z [[exponent]]u < | + | # Z [[exponent]]u <big>\(\frac{1}{7}\)</big> uděláme sedmou [[Odmocnina|odmocninu]]:<br /><big>\(\sqrt[7]{3x - 5} = 1\)</big> |
- | # Celou rovnici [[Umocňování|umocníme]] na 7:<br />< | + | # Celou rovnici [[Umocňování|umocníme]] na 7:<br /><big>\(3x - 5 = 1\)</big> |
- | # Nyní to budeme řešit jako [[Lineární rovnice|lineární rovnici]]:<br />< | + | # Nyní to budeme řešit jako [[Lineární rovnice|lineární rovnici]]:<br /><big>\(3x = 1 + 5\)</big> |
- | # < | + | # <big>\(3x = 6\)</big> |
- | # Celou [[Rovnice|rovnici]] vydělíme 3:<br />< | + | # Celou [[Rovnice|rovnici]] vydělíme 3:<br /><big>\(x = 2\)</big> |
Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice. | Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice. | ||
=== S pomocí kalkulačky === | === S pomocí kalkulačky === | ||
- | # < | + | # <big>\((3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4\)</big> |
- | # Vynásobíme závorky s [[Logaritmus|logaritmem]]:<br />< | + | # Vynásobíme závorky s [[Logaritmus|logaritmem]]:<br /><big>\(3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4\)</big> |
- | # Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu [[Rovnice|rovnice]]:<br />< | + | # Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu [[Rovnice|rovnice]]:<br /><big>\(- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)</big> |
- | # [[Vytýkání|Vytkneme]] x:<br />< | + | # [[Vytýkání|Vytkneme]] x:<br /><big>\(x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)</big> |
- | # Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br />< | + | # Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><big>\(x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}\)</big> |
- | # < | + | # <big>\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}\)</big> |
- | # Vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br />< | + | # Vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><big>\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}\)</big> |
- | # Výsledek je:<br />< | + | # Výsledek je:<br /><big>\(x = 1\)</big> |
Tím je vyřešená logaritmická rovnice. | Tím je vyřešená logaritmická rovnice. | ||
=== Substituce === | === Substituce === | ||
- | # < | + | # <big>\((\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0\)</big><br />Poznámka: <big>\((\log_2 x)^2 = \log_2^2 x\)</big> |
- | ## Podmínkou je, že < | + | ## Podmínkou je, že <big>\(x > 0\)</big> |
- | # Zavedeme [[Substituce (matematika)|substituci]] < | + | # Zavedeme [[Substituce (matematika)|substituci]] <big>\(a = \log_2 x\)</big> čili:<br /><big>\(a^2 - a - 2 = 0\)</big> |
- | # < | + | # <big>\((a - 2)(a + 1)\)</big> |
# Nyní máme výsledky [[Kvadratická rovnice|kvadratické rovnice]]: | # Nyní máme výsledky [[Kvadratická rovnice|kvadratické rovnice]]: | ||
- | ## < | + | ## <big>\(a_1 = 2\)</big> |
- | ## < | + | ## <big>\(a_2 = -1\)</big> |
# Vyřešíme obě [[rovnice]]: | # Vyřešíme obě [[rovnice]]: | ||
- | ## < | + | ## <big>\(\log_2 x = 2\)</big> |
- | ### Z pravidla víme, že < | + | ### Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x\)</big> čili:<br /><big>\(x = 2^2\)</big> |
- | ### < | + | ### <big>\(x = 4\)</big> |
- | ## < | + | ## <big>\(\log_2 x = -1\)</big> |
- | ### Z pravidla víme, že < | + | ### Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x\)</big> čili:<br /><big>\(x = 2^{-1}\)</big> |
- | ### < | + | ### <big>\(x = \frac{1}{2^1}\)</big> |
- | ### < | + | ### <big>\(x = \frac{1}{2}\)</big> |
Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice. | Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice. | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52
Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu. [1] [2]
Příklad, jak může rovnice vypadat:
\((3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4\)
Obsah |
Řešení logaritmické rovnice
Jednoduchá rovnice
- \(\log_5 \frac{1}{125} = x\)
- Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
\(5^x = \frac{1}{125}\) - Nyní to budeme řešit jako exponenciální rovnici o stejném základu. Čili \(125\) se dá napsat jako \(5^3\):
\(5^x = \frac{1}{5^3}\) - Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen \(5\)
\(5^x = 5^{-3}\) - \(x = -3\)
Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
Odstraněním logaritmu
- \(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0\)
- Podmínkou je, že \(3x - 5 > 0\)
- \(3x > 5\)
- \(x > \frac{5}{3}\)
- Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1\) - \(\frac{1}{7}\) napíšeme jako exponent:
\(log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1\) - Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
\((3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1\) - Z exponentu \(\frac{1}{7}\) uděláme sedmou odmocninu:
\(\sqrt[7]{3x - 5} = 1\) - Celou rovnici umocníme na 7:
\(3x - 5 = 1\) - Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
\(3x = 1 + 5\) - \(3x = 6\)
- Celou rovnici vydělíme 3:
\(x = 2\)
Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.
S pomocí kalkulačky
- \((3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4\)
- Vynásobíme závorky s logaritmem:
\(3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4\) - Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
\(- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\) - Vytkneme x:
\(x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\) - Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
\(x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}\) - \(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}\)
- Vypočítáme na kalkulačce:
\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}\) - Výsledek je:
\(x = 1\)
Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
Substituce
- \((\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0\)
Poznámka: \((\log_2 x)^2 = \log_2^2 x\)- Podmínkou je, že \(x > 0\)
- Zavedeme substituci \(a = \log_2 x\) čili:
\(a^2 - a - 2 = 0\) - \((a - 2)(a + 1)\)
- Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
- \(a_1 = 2\)
- \(a_2 = -1\)
- Vyřešíme obě rovnice:
- \(\log_2 x = 2\)
- Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
\(x = 2^2\) - \(x = 4\)
- Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
- \(\log_2 x = -1\)
- Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
\(x = 2^{-1}\) - \(x = \frac{1}{2^1}\)
- \(x = \frac{1}{2}\)
- Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
- \(\log_2 x = 2\)
Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.
Související články
- Logaritmus
- Rovnice
- Lineární rovnice
- Exponenciální rovnice
- Substituce (matematika)
- Kvadratická rovnice
- Vytýkání
Reference
- ↑ Logaritmická rovnice - teorie
- ↑ Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady
- ↑ Logaritmická rovnice - řešené příklady
- ↑ Logaritmická rovnice - řešené příklady
Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|
Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |