V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.

Rovinová souměrnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Rovinová souměrnost|700}}
+
'''Rovinová souměrnost''' je typ [[geometrie|geometrického]] [[geometrické zobrazení|zobrazení]] v prostoru. Rovinová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jedná se tedy o jedno ze [[shodné zobrazení|shodných zobrazení]].
 +
Souměrnost podle [[rovina|roviny]] nebo podle [[osová souměrnost|osy]] bývá také označována jako '''zrcadlení'''.
 +
 +
== Definice ==
 +
'''Rovinová souměrnost''' prostoru s [[rovina|rovinou]] ''O'' jako '''rovinou souměrnosti''' je takové zobrazení, které zobrazuje prvky roviny ''O'' na sebe samé a bod A mimo rovinu ''O'' s [[průmět]]em S do roviny ''O'' na bod A', který se nachází na [[polopřímka|polopřímce]] opačné k SA ve stejné vzdálenosti od S jako bod A (tj. platí pro něj |SA| = |SA´|).
 +
 +
Objekt v [[prostor]]u označujeme za '''rovinově souměrný''', pokud je v nějaké rovinové souměrnosti obrazem sebe sama. Rovinu této souměrnosti pak nazýváme '''rovinou souměrnosti objektu'''.
 +
 +
Poznámka: Pod pojmem prostor ve výše uvedené definici je obvykle myšlen klasický třírozměrný [[Eukleidovský prostor|eukleidovský prostor]]. Definice ale stejně dobře má smysl i v obecném  <math>n \,\! </math>-rozměrném prostoru pro <math> n \geq 3 \,\! </math>.
 +
 +
== Příklady ==
 +
*[[Krychle]] nebo [[kvádr]] jsou příkladem rovinově souměrného prostorového útvaru. Kvádr má tři roviny souměrnosti, krychle devět.
 +
*[[Jehlan]] je rovinově souměrný pouze za předpokladu, že jeho základna je osově souměrný rovinný útvar a jeho vrchol leží kolmo nad osou souměrnosti základny.
 +
*[[Koule]] je rovinově souměrná podle každé roviny, která obsahuje její střed souměrnosti.
 +
*[[Kužel]] a [[válec]] jsou rovinově souměrné podle každé roviny, která obsahuje jejich osu souměrnosti.
 +
 +
== Vlastnosti ==
 +
Rovinová souměrnost je (jako každá [[souměrnost]]) [[involuce_(matematika)|involutorní]], tzn. je sama sobě [[inverzní zobrazení|inverzním zobrazením]] - složením dvou rovinových souměrností se stejnou rovinou souměrnosti vzniká [[identita]].
 +
 +
Rovinová souměrnost je [[shodnost|nepřímá shodnost]], viz např. pohled do zrcadla. Mění v prostoru orientaci v následujícím smyslu: pokud vezmeme libovolný trojboký jehlan ABCD, ve kterém je z pohledu z bodu trojúhelník ABC orientován po směru hodinových ručiček, pak pro jeho obraz v A'B'C'D' v rovinové souměrnosti platí, že při pohledu z bodu D' je trojúhelník A'B'C' orientován proti směru hodinových ručiček (a naopak naopak).
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Středová souměrnost]]
 +
* [[Osová souměrnost]]
 +
* [[Shodné zobrazení]]
 +
 +
== Literatura ==
 +
* POMYKALOVÁ E. a kol., 2010: Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Praha: Prometheus.
 +
* BOČEK L., KOČANDRLE M., SEKANINA M., ŠEDIVÝ J., 1980. Geometrie II. Praha: SPN.
 +
 +
== Externí odkazy ==
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrie]]

Verze z 2. 2. 2015, 22:47

Rovinová souměrnost je typ geometrického zobrazení v prostoru. Rovinová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jedná se tedy o jedno ze shodných zobrazení.

Souměrnost podle roviny nebo podle osy bývá také označována jako zrcadlení.

Obsah

Definice

Rovinová souměrnost prostoru s rovinou O jako rovinou souměrnosti je takové zobrazení, které zobrazuje prvky roviny O na sebe samé a bod A mimo rovinu O s průmětem S do roviny O na bod A', který se nachází na polopřímce opačné k SA ve stejné vzdálenosti od S jako bod A (tj. platí pro něj |SA| = |SA´|).

Objekt v prostoru označujeme za rovinově souměrný, pokud je v nějaké rovinové souměrnosti obrazem sebe sama. Rovinu této souměrnosti pak nazýváme rovinou souměrnosti objektu.

Poznámka: Pod pojmem prostor ve výše uvedené definici je obvykle myšlen klasický třírozměrný eukleidovský prostor. Definice ale stejně dobře má smysl i v obecném <math>n \,\! </math>-rozměrném prostoru pro <math> n \geq 3 \,\! </math>.

Příklady

  • Krychle nebo kvádr jsou příkladem rovinově souměrného prostorového útvaru. Kvádr má tři roviny souměrnosti, krychle devět.
  • Jehlan je rovinově souměrný pouze za předpokladu, že jeho základna je osově souměrný rovinný útvar a jeho vrchol leží kolmo nad osou souměrnosti základny.
  • Koule je rovinově souměrná podle každé roviny, která obsahuje její střed souměrnosti.
  • Kužel a válec jsou rovinově souměrné podle každé roviny, která obsahuje jejich osu souměrnosti.

Vlastnosti

Rovinová souměrnost je (jako každá souměrnost) involutorní, tzn. je sama sobě inverzním zobrazením - složením dvou rovinových souměrností se stejnou rovinou souměrnosti vzniká identita.

Rovinová souměrnost je nepřímá shodnost, viz např. pohled do zrcadla. Mění v prostoru orientaci v následujícím smyslu: pokud vezmeme libovolný trojboký jehlan ABCD, ve kterém je z pohledu z bodu trojúhelník ABC orientován po směru hodinových ručiček, pak pro jeho obraz v A'B'C'D' v rovinové souměrnosti platí, že při pohledu z bodu D' je trojúhelník A'B'C' orientován proti směru hodinových ručiček (a naopak naopak).

Související články

Literatura

  • POMYKALOVÁ E. a kol., 2010: Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Praha: Prometheus.
  • BOČEK L., KOČANDRLE M., SEKANINA M., ŠEDIVÝ J., 1980. Geometrie II. Praha: SPN.

Externí odkazy

Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Rovinov%C3%A1_soum%C4%9Brnost“