Relativistická hmotnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Výrazné vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Relativistická hmotnost|700}}
+
'''Relativistická hmotnost''' je [[hmotnost]] [[těleso|tělesa]], kterou měří [[pozorovatel]] v [[teorie relativity|teorii relativity]]. Již podle [[speciální teorie relativity]] není hmotnost stejná pro všechny pozorovatele, ale závisí na tom, jak rychle se těleso vůči pozorovateli pohybuje.
 +
Lze ji spočítat podle vzorce
 +
 +
:<math>m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>,
 +
 +
kde <math>m_0</math> je [[klidová hmotnost]] (nebo také [[invariant]]ní či vlastní hmotnost), <math>v</math> je [[rychlost]] tělesa vůči pozorovateli a <math>c</math> [[rychlost světla]].
 +
 +
== Odvození ==
 +
Uvažujme [[nepružná srážka|nepružnou srážku]] popsanou ve dvou [[vztažná soustava|vztažných soustavách]] popsaných [[kartézské souřadnice|kartézskými souřadnicemi]], přičemž [[Lorentzova grupa|boost]], jehož rychlost je <math>\omega</math>, probíhá podél osy ''x''. Rozepíšeme [[zákon zachování energie]] a [[zákon zachování hybnosti]] v nečárkované a čárkované soustavě jako
 +
:<math>m_1+m_2 = M,\,</math>
 +
 +
:<math>v_1 m_1+v_2m_2=V M,\,</math>
 +
 +
:<math>m'_1+m'_2 = M',\,</math>
 +
 +
:<math>v'_1 m'_1+v'_2m'_2=V' M'.\,</math>
 +
Dále doplníme vztahy pro [[skládání rychlostí|sčítání rychlostí]]
 +
:<math>v'_1=\frac{v_1-\omega}{1-\frac{v_1\omega}{c^2}},</math>
 +
 +
:<math>v'_2=\frac{v_2-\omega}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}},</math>
 +
 +
:<math>V'=\frac{V-\omega}{1-\frac{V\omega}{c^2}}.</math>
 +
Pro jednoduchost položíme <math>v_1=0</math>. Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah
 +
 +
:<math>(m_1 m'_2-m'_1 m_2+m_2 m'_1 \,\frac{v_2 \omega}{c^2})=0.\,</math>
 +
Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát
 +
:<math>m_1={}^0m_1 f(0),\,</math>
 +
:<math>m'_1={}^0m_1 f(\omega),\,</math>
 +
:<math>m_2={}^0m_2 f(v_2),\,</math>
 +
:<math>m'_2={}^0m_2 f(v_2 -\omega),\,</math>
 +
předchozí rovnici tedy přepíšeme na
 +
:<math>\frac{f(v-\omega)}{f(\omega)f(v_2)}\frac{1}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}}=1.\,</math>
 +
Pro <math>v_2=\omega</math> tedy (za podmínky <math>f(0) = 1</math>) získáme
 +
:<math>f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega^2}{c^2}}},</math>
 +
což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]
[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]

Verze z 1. 3. 2014, 12:29

Relativistická hmotnost je hmotnost tělesa, kterou měří pozorovatel v teorii relativity. Již podle speciální teorie relativity není hmotnost stejná pro všechny pozorovatele, ale závisí na tom, jak rychle se těleso vůči pozorovateli pohybuje.

Lze ji spočítat podle vzorce

<math>m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>,

kde <math>m_0</math> je klidová hmotnost (nebo také invariantní či vlastní hmotnost), <math>v</math> je rychlost tělesa vůči pozorovateli a <math>c</math> rychlost světla.

Odvození

Uvažujme nepružnou srážku popsanou ve dvou vztažných soustavách popsaných kartézskými souřadnicemi, přičemž boost, jehož rychlost je <math>\omega</math>, probíhá podél osy x. Rozepíšeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v nečárkované a čárkované soustavě jako

<math>m_1+m_2 = M,\,</math>
<math>v_1 m_1+v_2m_2=V M,\,</math>
<math>m'_1+m'_2 = M',\,</math>
<math>v'_1 m'_1+v'_2m'_2=V' M'.\,</math>

Dále doplníme vztahy pro sčítání rychlostí

<math>v'_1=\frac{v_1-\omega}{1-\frac{v_1\omega}{c^2}},</math>
<math>v'_2=\frac{v_2-\omega}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}},</math>
<math>V'=\frac{V-\omega}{1-\frac{V\omega}{c^2}}.</math>

Pro jednoduchost položíme <math>v_1=0</math>. Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah

<math>(m_1 m'_2-m'_1 m_2+m_2 m'_1 \,\frac{v_2 \omega}{c^2})=0.\,</math>

Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát

<math>m_1={}^0m_1 f(0),\,</math>
<math>m'_1={}^0m_1 f(\omega),\,</math>
<math>m_2={}^0m_2 f(v_2),\,</math>
<math>m'_2={}^0m_2 f(v_2 -\omega),\,</math>

předchozí rovnici tedy přepíšeme na

<math>\frac{f(v-\omega)}{f(\omega)f(v_2)}\frac{1}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}}=1.\,</math>

Pro <math>v_2=\omega</math> tedy (za podmínky <math>f(0) = 1</math>) získáme

<math>f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega^2}{c^2}}},</math>

což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Relativistick%C3%A1_hmotnost“