Sitewide-reklama2-Whitepress.png
 
Sitewide-reklama2-Whitepress.png

Středová souměrnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Aktualizace)
 
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Středová souměrnost|700}}
+
'''Středová souměrnost''' je typ [[geometrické zobrazení|geometrického zobrazení]] v afinním prostoru.
-
 
+
 
 +
V euklidovském prostoru středová souměrnost zachovává [[vzdálenost]]i i [[úhel|úhly]], jedná se tedy o [[shodné zobrazení|shodnost]].
 +
 
 +
== Definice ==
 +
[[Soubor:geom_shodnost_soumernost_stred.png|thumb|240px|Středová souměrnost]]
 +
'''Středová souměrnost''' na [[přímka|přímce]], v [[rovina|rovině]] nebo v obecném (afinním) [[afinní prostor|prostoru]] se středem v bodě <big>\(S\)</big> (tzv. '''střed souměrnosti''') je takové [[geometrické zobrazení|zobrazení]], které zobrazuje střed <big>\(S\)</big> na sebe sama a bod <big>\(A\)</big> různý od <big>\(S\)</big> na bod <big>\(A^\prime\)</big>, který se nachází na [[polopřímka|polopřímce]] opačné k <big>\(SA\)</big> ve stejné vzdálenosti od <big>\(S\)</big> jako bod <big>\(A\)</big> (tj. platí pro něj <big>\(|SA| = |SA^\prime|\)</big>).
 +
 
 +
Objekt (ať již na přímce, v rovině nebo v prostoru) označujeme za '''středově souměrný''', pokud je v nějaké středové souměrnosti obrazem sebe sama. Střed této středové souměrnosti pak nazýváme '''středem souměrnosti objektu'''.
 +
 
 +
Středová souměrnost v prostoru se středem v počátku souřadné soustavy se též nazývá '''prostorová inverze''', užívá se v teoretické fyzice.
 +
 
 +
== Příklady ==
 +
[[Soubor:geom_shodnost_soumernost_stred.png|thumb|240px|Příklad středově souměrného útvaru]]
 +
* [[Úsečka]] nebo [[sjednocení]] dvou úseček stejné délky je příkladem středově souměrných objektů na přímce.
 +
* Naproti tomu žádná [[polopřímka]] není na přímce středově souměrná.
 +
* [[Obdélník]], [[čtverec]], [[kosočtverec]], [[pravidelný šestiúhelník]] nebo [[Kruh (geometrie)|kruh]] jsou příklady středově souměrných obrazců v rovině.
 +
* Naproti tomu žádný [[mnohoúhelník]] s lichým počtem vrcholů (tedy například žádný [[trojúhelník]]) nemůže být středově souměrný.
 +
* [[Hyperbola]] a [[elipsa]] jsou dalšími příklady středově souměrných rovinných útvarů, zatímco [[Parabola (matematika)|parabola]] středově souměrná není.
 +
* [[Krychle]], [[koule]] nebo rotační [[válec]] jsou příkladem středově souměrného prostorového útvaru.
 +
* Naproti tomu žádný [[jehlan]] ani [[kužel]] nemůže být středově souměrný.
 +
 
 +
== Vlastnosti ==
 +
Středová souměrnost s pevně daným středem je sama sobě [[inverzní zobrazení|inverzním zobrazením]] - složením dvou středových souměrností se stejným středem vzniká [[Identita (matematika)|identita]].
 +
 
 +
Kromě vzdáleností zachovává středová souměrnost v rovině i orientaci - pokud bylo pořadí vrcholů v [[trojúhelník]]u po směru hodinových ručiček, pak pořadí jejich obrazů ve středové souměrnosti je opět po směru hodinových ručiček (což je něco, co neplatí například pro [[osová souměrnost|osovou souměrnost]]).
 +
{{RIGHTTOC}}
 +
Středová souměrnost se středem v bodě <big>\(S\)</big> je v rovině shodná s [[rotace (geometrie)|otočením]] o 180 stupňů podle středu <big>\(S\)</big>. Trochu jiná je situace v prostoru, kde nemá smysl mluvit o otočení kolem bodu, ale kolem osy.
 +
 
 +
Středová souměrnost je [[involuce (matematika)|involucí]], neboť bod <big>\(S\)</big> je [[samodružný bod|samodružný]] a každá [[přímka]] procházející tímto bodem je také samodružná.
 +
 
 +
== Literatura ==
 +
* POMYKALOVÁ E. a kol., 2010: Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Praha: Prometheus.
 +
* BOČEK L., KOČANDRLE M., SEKANINA M., ŠEDIVÝ J., 1980. Geometrie II. Praha: SPN.
 +
 
 +
== Související články ==
 +
* [[Osová souměrnost]]
 +
* [[Rovinová souměrnost]]
 +
* [[Shodné zobrazení]]
 +
* [[Středová stavba]]
 +
 
 +
== Externí odkazy ==
 +
 
 +
 
 +
{{Commonscat|Point reflection}}{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Symetrie]]
[[Kategorie:Symetrie]]

Aktuální verze z 14. 9. 2025, 15:36

Středová souměrnost je typ geometrického zobrazení v afinním prostoru.

V euklidovském prostoru středová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jedná se tedy o shodnost.

Definice

Středová souměrnost

Středová souměrnost na přímce, v rovině nebo v obecném (afinním) prostoru se středem v bodě \(S\) (tzv. střed souměrnosti) je takové zobrazení, které zobrazuje střed \(S\) na sebe sama a bod \(A\) různý od \(S\) na bod \(A^\prime\), který se nachází na polopřímce opačné k \(SA\) ve stejné vzdálenosti od \(S\) jako bod \(A\) (tj. platí pro něj \(|SA| = |SA^\prime|\)).

Objekt (ať již na přímce, v rovině nebo v prostoru) označujeme za středově souměrný, pokud je v nějaké středové souměrnosti obrazem sebe sama. Střed této středové souměrnosti pak nazýváme středem souměrnosti objektu.

Středová souměrnost v prostoru se středem v počátku souřadné soustavy se též nazývá prostorová inverze, užívá se v teoretické fyzice.

Příklady

Příklad středově souměrného útvaru

Vlastnosti

Středová souměrnost s pevně daným středem je sama sobě inverzním zobrazením - složením dvou středových souměrností se stejným středem vzniká identita.

Kromě vzdáleností zachovává středová souměrnost v rovině i orientaci - pokud bylo pořadí vrcholů v trojúhelníku po směru hodinových ručiček, pak pořadí jejich obrazů ve středové souměrnosti je opět po směru hodinových ručiček (což je něco, co neplatí například pro osovou souměrnost).

Obsah

Středová souměrnost se středem v bodě \(S\) je v rovině shodná s otočením o 180 stupňů podle středu \(S\). Trochu jiná je situace v prostoru, kde nemá smysl mluvit o otočení kolem bodu, ale kolem osy.

Středová souměrnost je involucí, neboť bod \(S\) je samodružný a každá přímka procházející tímto bodem je také samodružná.

Literatura

  • POMYKALOVÁ E. a kol., 2010: Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Praha: Prometheus.
  • BOČEK L., KOČANDRLE M., SEKANINA M., ŠEDIVÝ J., 1980. Geometrie II. Praha: SPN.

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Středová souměrnost
Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/St%C5%99edov%C3%A1_soum%C4%9Brnost“