Analytická geometrie

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 2. 9. 2025, 20:19

Analytická geometrie (také souřadnicová geometrie nebo kartézská geometrie) je část geometrie, která zkoumá geometrické útvary v euklidovské geometrii pomocí algebraických a analytických metod.

V analytické geometrii jsou geometrické útvary v prostoru vyjadřovány čísly a rovnicemi ve zvolených souřadnicových soustavách. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány s lineární algebrou.

Obsah

1 Historie
2 Analytická geometrie v Euklidovském prostoru
3 Vzájemná poloha geometrických útvarů
4 Související články
5 Externí odkazy

Historie

Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce 1637 ve svém spisu La Géométrie.

Analytická geometrie v Euklidovském prostoru

V euklidovském prostoru obvykle máme danou soustavu souřadnic \(\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\) bodů i vektorů. Velikost vektoru \((v_1, v_2,\ldots,v_n)\) je \(\sqrt{v_1^2+\ldots+v_n^2}\) a skalární součin vektorů \((v_1, v_2,\ldots, v_n)\cdot (w_1,\ldots,w_n)=v_1 w_1 + \ldots v_n w_n\). Přímky jsou dány jako množiny \(\{a+t\mathbf{v}; \,t\in\R\}\) kde a je bod a v vektor. V dvourozměrném prostoru je navíc definována kružnice jako množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu \((x_0, y_0)\) (středu kružnice). Její rovnice je \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\).

Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvoří model pro euklidovské geometrie.

Vzájemná poloha geometrických útvarů

Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.

Vzájemná poloha bodu a křivky

Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní.
Bod A leží na křivce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice křivky získáme rovnost.

\(A[x_1, \ldots, x_n], p(y_1, \ldots, y_n)=0, A \in p \Leftrightarrow p(x_1, \ldots, x_n)=0\)

Vzájemná poloha bodu a přímky

Pokud bod leží na přímce, rozděluje ji takto na dvě polopřímky. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednu rovinu.
Obdobně jako u obecné křivky, bod A leží na přímce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice přímky získáme rovnost.

\(A[x_1, \ldots, x_n], p: a_1 y_1+ \ldots + a_n y_n + d = 0 , A \in p \Leftrightarrow a_1 x_1+ \ldots + a_n x_n + d = 0 \)

Leží-li bod mimo přímku, je možno určit jejich vzájemnou vzdálenost.

Vzájemná poloha bodu a kružnice

Obecný bod může ležet

uvnitř kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je menší než poloměr)
na kružnici (vzdálenost středu kružnice a bodu je rovna poloměru)
vně kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je větší než poloměr)

Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv. mocnost \(m\) bodu ke kružnici. Máme-li kružnici určenou vztahem \({(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2=r^2\), pak mocnost bodu \([x^\prime,y^\prime]\) k této kružnici se určí jako

\(m = {(x^\prime-x_0)}^2+{(y^\prime-y_0)}^2-r^2\)

Pro \(m=0\) leží bod na kružnici, pro \(m>0\) leží bod vně kružnice a pro \(m<0\) uvnitř kružnice.

Vzájemná poloha dvou přímek

V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodů \(x,y\) splňujících rovnice

\(y = k_1 x+q_1\)

\(y = k_2 x+q_2\)

Podmínka rovnoběžnosti je \(k_1 = k_2\). Přímky jsou kolmé, pokud jejich směrnice \(k_1, k_2\) splňují podmínku \(k_1 k_2+1=0\).

Průsečík dvou přímek získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

\(x_P = \frac{q_1-q_2}{k_2-k_1}\quad y_P = \frac{q_1 k_2 - q_2 k_1}{k_2-k_1}\)

V třírozměrném prostoru

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Dvě přímky mohou být zadané rovnicemi

\(a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0,\quad a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0\quad\).

a

\(a_3 x+b_3 y+c_3 z+d_3=0,\quad a_4 x+b_4 y+c_4 z+d_4=0\quad\)

(předpokládejme, že první i druhá dvojice rovnic opravdu určuje přímku a ne rovinu nebo prázdnou množinu). Tyto dvě přímky se protínají, pokud matice

\(A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{pmatrix}\)

je singulární. Přímky jsou totožné, pokud tato matice má hodnost 2. Přímky jsou rovnoběžné, pokud matice tvořená prvními třemi sloupci A má hodnost 2.

Vzájemná poloha dvou kružnic

Jako vzájemná poloha dvou kružnic se v geometrii označuje počet průsečíků a poloha dvou kružnic. Tato poloha je závislá na velikosti poloměrů jednotlivých kružnic \(r_1\), \(r_2\) a vzdálenosti jejich středů s.

Vzájemné polohy dvou kružnic.

Kružnice

jsou soustředné, pokud s = 0 (viz kružnice k a k₁)
- pokud zároveň \(r_1 = r_2\), pak jsou kružnice totožné a mají nekonečně mnoho společných bodů
- v ostatních případech (\(r_1 \ne r_2\)) nemají společný bod.
nemají společný bod (menší kružnice leží celá uvnitř větší), pokud \(0 < s < \left | r_1 - r_2 \right |\) (viz kružnice k a k₂)
mají vnitřní dotyk, pokud \(s = \left | r_1 - r_2 \right |\) (viz kružnice k a k₃)
se protínají (mají 2 společné průsečíky), pokud \(\left | r_1 - r_2 \right | < s < r_1 + r_2\) (viz kružnice k a k₄)
mají vnější dotyk, pokud s = r₁ + r₂ (viz kružnice k a k₅)
nemají společný bod (leží vně), pokud s > r₁ + r₂ (viz kružnice k a k₆)

Jsou-li kružnice zadány svými rovnicemi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídající soustavy rovnic.

Vzájemná poloha přímky a kružnice

Vzájemná poloha přímky a kružnice (ležící v téže rovině) závisí na vzdálenosti s středu kružnice od přímky a poloměru \(r\).

\(s > r\): přímka nemá s kružnicí žádný společný bod (tzv. vnější přímka kružnice nebo nesečna)
\(s = r\): přímka se nazývá tečnou ke kružnici a má s ní 1 společný bod dotyku
\(s < r\): přímka se nazývá sečna a má s kružnicí 2 společné body (průsečíky) a úsečka s krajními body v průsečících se nazývá tětiva (nejdelší tětiva je průměr)

Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.

Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicí \(y=kx+q\) a kružnici se středem v počátku a rovnicí \(x^2+y^2=r^2\), pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením této soustavy rovnic, jsou

\(\left[-\frac{qk}{1+k^2}\pm \frac{1}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2},\; \frac{q}{1+k^2}\pm\frac{k}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2}\right]\)

O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje člen \(D=r^2(1+k^2)-q^2\). Pro \(D>0\) protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka je sečnou kružnice). Pro \(D=0\) mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka je tečnou kružnice). Pro \(D<0\) přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).

Vzájemná poloha dvou rovin v třírozměrném prostoru

Dvě různé roviny \(\rho, \sigma\) v trojrozměrném prostoru, které mají společnou přímku \(p\), se nazývají různoběžné a značí \(\rho\nparallel\sigma\). Přímka \(p\) se nazývá průsečnice obou rovin \(\rho\) a \(\sigma\).

Dvě různé roviny, které nemají v prostoru žádný společný bod anebo jsou identické (totožné), se označují jako rovnoběžné.

Pokud jsou roviny popsány rovnicemi \(a_1 x + b_1 y + c_1 z +d_1 =0\) a \(a_2 x + b_2 y + c_2 z +d_2 =0\), pak se protínají, pokud tyto dvě rovnice mají společné řešení, jsou rovnoběžné pokud nemají řešení a jsou totožné, pokud druhá rovina je násobkem první rovnice.

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Analytická geometrie

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-{{Wikipedia-cs|Analytická geometrie|700}}
+'''Analytická geometrie''' (také '''souřadnicová geometrie''' nebo '''kartézská geometrie''') je část [[geometrie]], která zkoumá [[geometrický útvar|geometrické útvary]] v [[Eukleidovská geometrie|euklidovské geometrii]] pomocí [[algebra]]ických a [[matematická analýza|analytických]] metod.
+V analytické geometrii jsou geometrické útvary v [[prostor (geometrie)|prostoru]] vyjadřovány [[číslo|čísly]] a [[rovnice]]mi ve zvolených [[soustava souřadnic|souřadnicových soustavách]]. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány s [[lineární algebra|lineární algebrou]].
+== Historie ==
+Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce 1637 ve svém spisu ''La Géométrie''.
+== Analytická geometrie v Euklidovském prostoru ==
+V [[Eukleidovský prostor|euklidovském prostoru]] obvykle máme danou [[Soustava souřadnic|soustavu souřadnic]] <big>\(\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\)</big> [[bod]]ů i [[vektor]]ů. Velikost vektoru <big>\((v_1, v_2,\ldots,v_n)\)</big> je <big>\(\sqrt{v_1^2+\ldots+v_n^2}\)</big> a [[skalární součin]] vektorů <big>\((v_1, v_2,\ldots, v_n)\cdot (w_1,\ldots,w_n)=v_1 w_1 + \ldots v_n w_n\)</big>. [[Přímka|Přímky]] jsou dány jako množiny <big>\(\{a+t\mathbf{v}; \,t\in\R\}\)</big> kde ''a'' je bod a '''v''' vektor.
+V dvourozměrném prostoru je navíc definována [[kružnice]] jako množina bodů v [[Rovina|rovině]], které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu <big>\((x_0, y_0)\)</big> (středu kružnice). Její rovnice je <big>\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\)</big>.
+Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvoří [[Model (logika)|model]] pro [[Eukleidovská geometrie|euklidovské geometrie]].
+== Vzájemná poloha geometrických útvarů ==
+Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.
+=== Vzájemná poloha bodu a [[křivka|křivky]] ===
+Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní. <br />Bod ''A'' leží na křivce ''p'' pokud dosazením [[Soustava souřadnic|souřadnic]] bodu do rovnice křivky získáme [[rovnost (matematika)|rovnost]].
+:<big>\(A[x_1, \ldots, x_n], p(y_1, \ldots, y_n)=0, A \in p \Leftrightarrow p(x_1, \ldots, x_n)=0\)</big>
+==== Vzájemná poloha bodu a přímky ====
+Pokud bod leží na [[přímka|přímce]], rozděluje ji takto na dvě [[polopřímka|polopřímky]]. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednu [[rovina|rovinu]].<br />
+Obdobně jako u obecné křivky, bod ''A'' leží na přímce ''p'' pokud dosazením [[Soustava souřadnic|souřadnic]] bodu do rovnice přímky získáme [[rovnost (matematika)|rovnost]].
+:<big>\(A[x_1, \ldots, x_n], p: a_1 y_1+ \ldots + a_n y_n + d = 0 , A \in p \Leftrightarrow a_1 x_1+ \ldots + a_n x_n + d = 0 \)</big>
+Leží-li bod mimo ''přímku'', je možno určit jejich vzájemnou [[vzdálenost]].
+==== Vzájemná poloha bodu a kružnice ====
+Obecný bod může ležet
+* uvnitř [[kružnice]] ([[vzdálenost]] [[střed]]u kružnice a bodu je [[menší než]] [[poloměr]])
+* na kružnici (vzdálenost středu kružnice a bodu je rovna poloměru)
+* vně kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je [[větší než]] poloměr)
+Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv. ''mocnost <big>\(m\)</big> bodu ke kružnici''. Máme-li kružnici určenou vztahem <big>\({(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2=r^2\)</big>, pak mocnost bodu <big>\([x^\prime,y^\prime]\)</big> k této kružnici se určí jako
+:<big>\(m = {(x^\prime-x_0)}^2+{(y^\prime-y_0)}^2-r^2\)</big>
+Pro <big>\(m=0\)</big> leží bod na kružnici, pro <big>\(m>0\)</big> leží bod vně kružnice a pro <big>\(m<0\)</big> uvnitř kružnice.
+=== Vzájemná poloha dvou přímek ===
+==== V rovině ====
+[[Rovnoběžky]] v [[rovina|rovině]] jsou [[přímka|přímky]], které mají stejný směr a nemají žádný společný [[bod]]. Speciálním případem je [[totožnost]]. Dále [[různoběžky]] jsou přímky, které se [[průnik|protínají]] právě v jednom [[bod]]ě – [[průsečík]]u. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.
+Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodů <big>\(x,y\)</big> splňujících rovnice
+:<big>\(y = k_1 x+q_1\)</big>
+:<big>\(y = k_2 x+q_2\)</big>
+Podmínka rovnoběžnosti je <big>\(k_1 = k_2\)</big>. Přímky jsou [[Ortogonalita|kolmé]], pokud jejich [[směrnice]] <big>\(k_1, k_2\)</big> splňují podmínku <big>\(k_1 k_2+1=0\)</big>.
+Průsečík dvou přímek získáme řešením této [[soustava rovnic|soustavy]], čímž dostaneme souřadnice průsečíku
+:<big>\(x_P = \frac{q_1-q_2}{k_2-k_1}\quad y_P = \frac{q_1 k_2 - q_2 k_1}{k_2-k_1}\)</big>
+==== V třírozměrném prostoru ====
+[[Rovnoběžky]] v [[prostor (geometrie)|prostoru]] jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou [[Identita (matematika)|totožné]] přímky. Dále [[různoběžky]] jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. '''Mimoběžky''' jsou přímky, které neleží ve stejné [[rovina|rovině]] a proto se neprotínají i když mají různý směr.
+Dvě přímky mohou být zadané rovnicemi
+:<big>\(a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0,\quad a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0\quad\)</big>.
+a
+:<big>\(a_3 x+b_3 y+c_3 z+d_3=0,\quad a_4 x+b_4 y+c_4 z+d_4=0\quad\)</big>
+(předpokládejme, že první i druhá dvojice rovnic opravdu určuje přímku a ne rovinu nebo prázdnou množinu).
+Tyto dvě přímky se protínají, pokud [[matice]]
+:<big>\(A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{pmatrix}\)</big>
+je [[singulární matice|singulární]]. Přímky jsou totožné, pokud tato [[matice]] má [[hodnost matice|hodnost]] 2. Přímky jsou rovnoběžné, pokud matice tvořená prvními třemi sloupci A má hodnost 2.
+=== Vzájemná poloha dvou kružnic ===
+Jako '''vzájemná poloha dvou kružnic''' se v [[Geometrie|geometrii]] označuje počet [[průsečík]]ů a poloha dvou [[Kružnice|kružnic]]. Tato poloha je závislá na velikosti [[poloměr]]ů jednotlivých kružnic <big>\(r_1\)</big>, <big>\(r_2\)</big> a [[vzdálenost]]i jejich středů ''s''.
+[[Soubor:Kruznice vzajemne polohy-2006.png|thumb|240px|Vzájemné polohy dvou kružnic.]]
+Kružnice
+* jsou [[soustředné kružnice|soustředné]], pokud ''s = 0'' (viz kružnice ''k'' a ''k<sub>1</sub>'')
+** pokud zároveň <big>\(r_1 = r_2\)</big>, pak jsou kružnice [[Identita (matematika)|totožné]] a mají [[nekonečno|nekonečně]] mnoho společných [[bod]]ů
+** v ostatních případech (<big>\(r_1 \ne r_2\)</big>) nemají společný bod.
+* nemají společný bod (menší kružnice leží celá uvnitř větší), pokud <big>\(0 < s < \left | r_1 - r_2 \right |\)</big> (viz kružnice ''k'' a ''k<sub>2</sub>'')
+* mají ''[[Bod dotyku|vnitřní dotyk]]'', pokud <big>\(s = \left | r_1 - r_2 \right |\)</big> (viz kružnice ''k'' a ''k<sub>3</sub>'')
+* ''se protínají'' (mají 2 společné průsečíky), pokud <big>\(\left | r_1 - r_2 \right | < s < r_1 + r_2\)</big> (viz kružnice ''k'' a ''k<sub>4</sub>'')
+* mají ''vnější dotyk'', pokud ''s = r<sub>1</sub> + r<sub>2</sub>'' (viz kružnice ''k'' a ''k<sub>5</sub>'')
+* nemají společný bod (leží vně), pokud ''s > r<sub>1</sub> + r<sub>2</sub>'' (viz kružnice ''k'' a ''k<sub>6</sub>'')
+Jsou-li kružnice zadány svými [[rovnice]]mi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídající [[soustava rovnic|soustavy rovnic]].
+=== Vzájemná poloha přímky a kružnice ===
+[[Soubor:Kruznice primka polohy-2006.png|thumb|240px|Vzájemná poloha přímky a kružnice]]
+'''Vzájemná poloha [[přímka|přímky]] a [[kružnice]]''' (ležící v téže [[rovina|rovině]]) závisí na [[vzdálenost]]i s středu kružnice od přímky a [[poloměr]]u <big>\(r\)</big>.
+* <big>\(s > r\)</big>: přímka nemá s kružnicí žádný společný [[bod]] (tzv. ''vnější přímka kružnice'' nebo ''nesečna'')
+* <big>\(s = r\)</big>: přímka se nazývá [[tečna|tečnou]] ke kružnici a má s ní 1 společný [[bod dotyku]]
+* <big>\(s < r\)</big>: přímka se nazývá [[sečna]] a má s kružnicí 2 společné body (průsečíky) a [[úsečka]] s krajními body v průsečících se nazývá [[tětiva (geometrie)|tětiva]] (nejdelší tětiva je [[průměr (geometrie)|průměr]])
+Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.
+Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicí <big>\(y=kx+q\)</big> a kružnici se středem v počátku a rovnicí <big>\(x^2+y^2=r^2\)</big>, pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením této [[soustava rovnic|soustavy rovnic]], jsou
+:<big>\(\left[-\frac{qk}{1+k^2}\pm \frac{1}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2},\; \frac{q}{1+k^2}\pm\frac{k}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2}\right]\)</big>
+O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje člen <big>\(D=r^2(1+k^2)-q^2\)</big>. Pro <big>\(D>0\)</big> protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka je [[sečna|sečnou]] kružnice). Pro <big>\(D=0\)</big> mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka je [[tečna|tečnou]] kružnice). Pro <big>\(D<0\)</big> přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).
+=== Vzájemná poloha dvou rovin v třírozměrném prostoru ===
+Dvě různé [[rovina|roviny]] <big>\(\rho, \sigma\)</big> v trojrozměrném [[prostor (geometrie)|prostoru]], které mají společnou [[přímka|přímku]] <big>\(p\)</big>, se nazývají '''různoběžné''' a značí <big>\(\rho\nparallel\sigma\)</big>. Přímka <big>\(p\)</big> se nazývá '''průsečnice''' obou rovin <big>\(\rho\)</big> a <big>\(\sigma\)</big>.
+Dvě různé roviny, které nemají v prostoru žádný společný bod anebo jsou identické (totožné), se označují jako rovnoběžné.
+Pokud jsou roviny popsány rovnicemi <big>\(a_1 x + b_1 y + c_1 z +d_1 =0\)</big>
+a <big>\(a_2 x + b_2 y + c_2 z +d_2 =0\)</big>, pak se protínají, pokud tyto dvě rovnice mají společné řešení, jsou rovnoběžné pokud nemají řešení a jsou totožné, pokud druhá rovina je násobkem první rovnice.
+== Související články ==
+* [[Geometrie]]
+* [[Eukleidovská geometrie|Euklidova geometrie]]
+* [[Algebraická geometrie]]
+* [[Diferenciální geometrie]]
+== Externí odkazy ==
+{{Commonscat|Analytic geometry}}{{Článek z Wikipedie}}
 [[Kategorie:Geometrie]]