Paprsková rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 1. 10. 2013, 12:11 (zobrazit zdroj) Sysop (diskuse | příspěvky) m (1 revizi) ← Porovnání se starší verzí		Aktuální verze z 14. 8. 2022, 15:27 (zobrazit zdroj) Sysop (diskuse | příspěvky) m (Nahrazení textu „\bold{“ textem „\mathbf{“)
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1:		Řádka 1:
-	{{Wikipedia-cs|Paprsková rovnice|700}}	+	'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu|indexem lomu]]. Její tvar je
-		+
		+	<big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\)</big>,
		+
		+	kde <big>$s$</big> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.
		+
		+	Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar
		+
		+	<big>\(n\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s}\)</big>
		+
		+	Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}{\mathrm{s}}^2}$</big> je vždy kolmá na <big>$\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\mathrm{s}}$</big> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,
		+
		+	<big>\(\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\right|\)</big>.
		+
		+	Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu,  ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).
		+
		+	Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}\)</big> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.
		+
		+	==Příklady==
		+
		+	Speciálně je-li <big>$\mathrm{\nabla }n=0$</big>, dostáváme nulovou křivost v  každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.
		+
		+	Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí
		+
		+	<big>$n(y)\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{s}}=konst.$</big>
		+
		+	Což lze přepsat pomocí úhlu <big>$\alpha$</big>, který paprsek svírá s osou y do tvaru
		+
		+	<big>$n(y)\sin \alpha =konst.$</big>
		+
		+	Z čehož speciálně plyne [[Snellův zákon]] lomu:
		+
		+	<big>$n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2$</big>
		+
		+	== Externí odkazy ==
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Rovnice]]		[[Kategorie:Rovnice]]
	[[Kategorie:Optika]]		[[Kategorie:Optika]]

---

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 15:27

Paprskovu rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je

$\mathrm{\nabla }n=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{s}}(n\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\mathrm{s}})$,

kde $s$ je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

$n\frac{{\mathrm{d}}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}{\mathrm{s}}^2}=\mathrm{\nabla }n-(\mathrm{\nabla }n\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\mathrm{s}})\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\mathrm{s}}$

Z diferenciální geometrie je přitom známo, že $\frac{{\mathrm{d}}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}{\mathrm{s}}^2}$ je vždy kolmá na $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\mathrm{s}}$ (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

$\frac{1}{R}=\left|\frac{{\mathrm{d}}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}{\mathrm{s}}^2}\right|$.

Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

Máme-li tedy zadán směr paprsku $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\mathrm{s}}$ v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

Příklady

Speciálně je-li $\mathrm{\nabla }n=0$, dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí

$n(y)\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{s}}=konst.$

Což lze přepsat pomocí úhlu $\alpha$, který paprsek svírá s osou y do tvaru

$n(y)\sin \alpha =konst.$

Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu:

$n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2$

Externí odkazy

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii