Paprsková rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 15:27

Paprskovu rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je

\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\),

kde \(s\) je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

\(n\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s}\)

Z diferenciální geometrie je přitom známo, že \(\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\) je vždy kolmá na \(\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}\) (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

\(\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\right|\).

Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

Máme-li tedy zadán směr paprsku \(\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}\) v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

Příklady

Speciálně je-li \(\nabla n =0\), dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí

\(n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.\)

Což lze přepsat pomocí úhlu \(\alpha\), který paprsek svírá s osou y do tvaru

\(n(y) \sin \alpha = konst.\)

Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu:

\(n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2\)

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
 '''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu|indexem lomu]]. Její tvar je
-<big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\)</big>,
+<big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\)</big>,
 kde <big>\(s\)</big> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.
@@ Řádka 7: / Řádka 7: @@
 Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar
-<big>\(n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}\)</big>
+<big>\(n\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s}\)</big>
-Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>\(\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\)</big> je vždy kolmá na <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}\)</big> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,
+Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>\(\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\)</big> je vždy kolmá na <big>\(\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}\)</big> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,
-<big>\(\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right|\)</big>.
+<big>\(\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\right|\)</big>.
 Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu,  ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).
-Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}\)</big> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.
+Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}\)</big> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.
 ==Příklady==