Relativistická hmotnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Relativistická hmotnost|700}}
+
'''Relativistická hmotnost''' je [[hmotnost]] [[těleso|tělesa]], kterou měří [[pozorovatel]] v [[teorie relativity|teorii relativity]]. Již podle [[speciální teorie relativity]] není hmotnost stejná pro všechny pozorovatele, ale závisí na tom, jak rychle se těleso vůči pozorovateli pohybuje.
 +
Lze ji spočítat podle vzorce
 +
 +
:<big>\(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)</big>,
 +
 +
kde <big>\(m_0\)</big> je [[klidová hmotnost]] (nebo také [[invariant]]ní či vlastní hmotnost), <big>\(v\)</big> je [[rychlost]] tělesa vůči pozorovateli a <big>\(c\)</big> [[rychlost světla]].
 +
 +
== Odvození ==
 +
Uvažujme [[nepružná srážka|nepružnou srážku]] popsanou ve dvou [[vztažná soustava|vztažných soustavách]] popsaných [[kartézské souřadnice|kartézskými souřadnicemi]], přičemž [[Lorentzova grupa|boost]], jehož rychlost je <big>\(\omega\)</big>, probíhá podél osy ''x''. Rozepíšeme [[zákon zachování energie]] a [[zákon zachování hybnosti]] v nečárkované a čárkované soustavě jako
 +
:<big>\(m_1+m_2 = M,\,\)</big>
 +
 +
:<big>\(v_1 m_1+v_2m_2=V M,\,\)</big>
 +
 +
:<big>\(m'_1+m'_2 = M',\,\)</big>
 +
 +
:<big>\(v'_1 m'_1+v'_2m'_2=V' M'.\,\)</big>
 +
Dále doplníme vztahy pro [[skládání rychlostí|sčítání rychlostí]]
 +
:<big>\(v'_1=\frac{v_1-\omega}{1-\frac{v_1\omega}{c^2}},\)</big>
 +
 +
:<big>\(v'_2=\frac{v_2-\omega}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}},\)</big>
 +
 +
:<big>\(V'=\frac{V-\omega}{1-\frac{V\omega}{c^2}}.\)</big>
 +
Pro jednoduchost položíme <big>\(v_1=0\)</big>. Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah
 +
 +
:<big>\((m_1 m'_2-m'_1 m_2+m_2 m'_1 \,\frac{v_2 \omega}{c^2})=0.\,\)</big>
 +
Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát
 +
:<big>\(m_1={}^0m_1 f(0),\,\)</big>
 +
:<big>\(m'_1={}^0m_1 f(\omega),\,\)</big>
 +
:<big>\(m_2={}^0m_2 f(v_2),\,\)</big>
 +
:<big>\(m'_2={}^0m_2 f(v_2 -\omega),\,\)</big>
 +
předchozí rovnici tedy přepíšeme na
 +
:<big>\(\frac{f(v-\omega)}{f(\omega)f(v_2)}\frac{1}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}}=1.\,\)</big>
 +
Pro <big>\(v_2=\omega\)</big> tedy (za podmínky <big>\(f(0) = 1\)</big>) získáme
 +
:<big>\(f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega^2}{c^2}}},\)</big>
 +
což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]
[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Relativistická hmotnost je hmotnost tělesa, kterou měří pozorovatel v teorii relativity. Již podle speciální teorie relativity není hmotnost stejná pro všechny pozorovatele, ale závisí na tom, jak rychle se těleso vůči pozorovateli pohybuje.

Lze ji spočítat podle vzorce

\(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\),

kde \(m_0\) je klidová hmotnost (nebo také invariantní či vlastní hmotnost), \(v\) je rychlost tělesa vůči pozorovateli a \(c\) rychlost světla.

Odvození

Uvažujme nepružnou srážku popsanou ve dvou vztažných soustavách popsaných kartézskými souřadnicemi, přičemž boost, jehož rychlost je \(\omega\), probíhá podél osy x. Rozepíšeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v nečárkované a čárkované soustavě jako

\(m_1+m_2 = M,\,\)
\(v_1 m_1+v_2m_2=V M,\,\)
\(m'_1+m'_2 = M',\,\)
\(v'_1 m'_1+v'_2m'_2=V' M'.\,\)

Dále doplníme vztahy pro sčítání rychlostí

\(v'_1=\frac{v_1-\omega}{1-\frac{v_1\omega}{c^2}},\)
\(v'_2=\frac{v_2-\omega}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}},\)
\(V'=\frac{V-\omega}{1-\frac{V\omega}{c^2}}.\)

Pro jednoduchost položíme \(v_1=0\). Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah

\((m_1 m'_2-m'_1 m_2+m_2 m'_1 \,\frac{v_2 \omega}{c^2})=0.\,\)

Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát

\(m_1={}^0m_1 f(0),\,\)
\(m'_1={}^0m_1 f(\omega),\,\)
\(m_2={}^0m_2 f(v_2),\,\)
\(m'_2={}^0m_2 f(v_2 -\omega),\,\)

předchozí rovnici tedy přepíšeme na

\(\frac{f(v-\omega)}{f(\omega)f(v_2)}\frac{1}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}}=1.\,\)

Pro \(v_2=\omega\) tedy (za podmínky \(f(0) = 1\)) získáme

\(f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega^2}{c^2}}},\)

což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Relativistick%C3%A1_hmotnost“