Plocha

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 25. 10. 2012, 10:49 (zobrazit zdroj) Sysop (diskuse | příspěvky) m (1 revizi) ← Porovnání se starší verzí		Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53 (zobrazit zdroj) Sysop (diskuse | příspěvky) m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1:		Řádka 1:
-	{{Wikipedia-cs|Plocha|700}}	+	'''Plocha''' označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný [[geometrický útvar]]. Příkladem ploch jsou [[rovina]], [[Sféra (matematika)|kulová plocha]], povrch [[válec|válce]] nebo [[kuželová plocha]]. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.
-		+
-	[[Kategorie:Geometrie]]	+	Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení [[geometrický útvar|geometrického útvaru]], ale také pro označení [[obsah]]u geometrického útvaru.
		+
		+	== Plochy v euklidovském prostoru ==
		+
		+	V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného [[Eukleidovský prostor|euklidovského prostoru]]. Můžeme ji definovat jako [[množina|množinu]] všech [[bod]]ů, jejichž [[souřadnice]] vyhovují [[rovnice|rovnici]]
		+	:<big>$F(x,y,z)=0$</big>,
		+	kde <big>$F$</big> je [[funkce (matematika)|funkce]], která má v každém bodě [[spojitost|spojitou]] [[parciální derivace|parciální derivaci]] alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.
		+
		+	Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají ''[[regulární bod]]y'' plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu [[nula|nulové]] označujeme jako ''[[singulární bod]]y''. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol [[kužel]]e.
		+
		+	Singulární bod, v němž funkce <big>$F$</big> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá ''kónický bod'' plochy.
		+
		+	Plocha určená svojí [[normála plochy|normálou]] se označuje jako '''orientovaná plocha'''.
		+
		+	Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.
		+
		+	=== Implicitní rovnice plochy ===
		+	Implicitní rovnice plochy má tvar
		+	:<big>$F(x,y,z)=0$</big>
		+
		+	=== Parametrické rovnice ===
		+	Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny [[soustava rovnic|soustavou rovnic]]
		+	:<big>$x=x(u,v)$</big>
		+	:<big>$y=y(u,v)$</big>
		+	:<big>$z=z(u,v)$</big>
		+	Tato soustava rovnic představuje [[parametrická funkce|parametrické]] vyjádření plochy, přičemž <big>$u,v$</big> jsou parametry plochy. Každou dvojici <big>$u,v$</big> z určitého oboru <big>$\mathrm{\Omega }$</big> nazýváme [[bod]]em plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na <big>$\mathrm{\Omega }$</big> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle <big>$u$</big> a <big>$v$</big>.
		+
		+	=== Explicitní rovnice plochy ===
		+	Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar
		+	:<big>$z=f(x,y)$</big>,
		+	pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.
		+
		+	== Základní rovnice plochy ==
		+	Vztahy mezi [[normála|normálou]] plochy <big>\(\mathbf{n}\)</big>, [[rádiusvektor]]em <big>\(\mathbf{r}\)</big> a jejich [[derivace]]mi určují tzv. ''základní rovnice plochy''. Tyto [[rovnice]] lze pro plochu určenou <big>$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)$</big> uvést v různých tvarech.
		+
		+	{{Upravit}}
		+	=== Weingartenovy rovnice plochy ===
		+	'''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <big>$\mathbf{n}$</big> a <big>$\mathbf{r}$</big>.
		+	:<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}\)</big>
		+	:<big>$\frac{\text{part}\mathbf{n}}{\text{part}v}=\frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}u}+\frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}v}$</big>
		+	:
		+	:<big>$\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}u}=\frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\text{part}\mathbf{n}}{\text{part}u}+\frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\text{part}\mathbf{n}}{\text{part}v}$</big>
		+	:<big>$\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}v}=\frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\text{part}\mathbf{n}}{\text{part}u}+\frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\text{part}\mathbf{n}}{\text{part}v}$</big>
		+	kde <big>$E,F,G$</big> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>$L,M,N$</big> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]].
		+
		+	=== Gaussovy rovnice plochy ===
		+	'''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor|polohového vektoru]] <big>\(\mathbf{r}\)</big>.
		+	:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}\)</big>
		+	:<big>$\frac{{\text{part}}^2\mathbf{r}}{\text{part}u\text{part}v}=\frac{G\frac{\text{part}E}{\text{part}v}-F\frac{\text{part}G}{\text{part}u}}{2(EG-F^2)}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}u}+\frac{E\frac{\text{part}G}{\text{part}u}-F\frac{\text{part}E}{\text{part}v}}{2(EG-F^2)}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}v}+M\mathbf{n}$</big>
		+	:<big>$\frac{{\text{part}}^2\mathbf{r}}{\text{part}{v}^2}=\frac{-F\frac{\text{part}G}{\text{part}v}+2G\frac{\text{part}F}{\text{part}v}-G\frac{\text{part}G}{\text{part}u}}{2(EG-F^2)}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}u}+\frac{E\frac{\text{part}G}{\text{part}v}-2F\frac{\text{part}F}{\text{part}v}+F\frac{\text{part}G}{\text{part}u}}{2(EG-F^2)}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}v}+N\mathbf{n}$</big>
		+	kde <big>$E,F,G$</big> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>$L,M,N$</big> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]].
		+
		+	=== Codazziho rovnice plochy ===
		+	'''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy prvního řádu]] <big>$E,F,G$</big> a [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy druhého řádu]] <big>$L,M,N$</big>.
		+	:<big>$(EG-2F^2+GE)(\frac{\text{part}L}{\text{part}v}-\frac{\text{part}M}{\text{part}u})-(EN-2FM+GL)(\frac{\text{part}E}{\text{part}v}-\frac{\text{part}F}{\text{part}u})+\left|\begin{array}{ccc}E& \frac{\text{part}E}{\text{part}u}& L\\ F& \frac{\text{part}F}{\text{part}u}& M\\ G& \frac{\text{part}G}{\text{part}u}& N\end{array}\right|=0$</big>
		+	:<big>$(EG-2F^2+GE)(\frac{\text{part}M}{\text{part}v}-\frac{\text{part}N}{\text{part}u})-(EN-2FM+GL)(\frac{\text{part}F}{\text{part}v}-\frac{\text{part}G}{\text{part}u})+\left|\begin{array}{ccc}E& \frac{\text{part}E}{\text{part}v}& L\\ F& \frac{\text{part}F}{\text{part}v}& M\\ G& \frac{\text{part}G}{\text{part}v}& N\end{array}\right|=0$</big>
		+
		+	== Vlastnosti ==
		+	* Zavedeme [[matice|matici]]
		+	:<big>$\left(\begin{array}{ccc}\frac{\text{part}x}{\text{part}u}& \frac{\text{part}y}{\text{part}u}& \frac{\text{part}z}{\text{part}u}\\ \frac{\text{part}x}{\text{part}v}& \frac{\text{part}y}{\text{part}v}& \frac{\text{part}z}{\text{part}v}\end{array}\right)$</big>
		+	Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice|hodnost]] <big>$h=2$</big> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <big>$h<2$</big>, pak jde o singulární body.
		+
		+	* Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <big>$\mathrm{\Omega }$</big> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost <big>$h=2$</big>, pak plochu označujeme jako '''hladkou'''.
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Prostorové geometrické útvary]]
		+	* [[Přímková plocha]]
		+	* [[Kvadrika|Kvadratická plocha]]
		+	* [[Kuželová plocha]]
		+	* [[Válcová plocha]]
		+	* [[Obsah]]
		+
		+	== Externí odkazy ==
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Prostorové geometrické útvary]]		[[Kategorie:Prostorové geometrické útvary]]

---

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického útvaru.

Obsah [skrýt] 1 Plochy v euklidovském prostoru 1.1 Implicitní rovnice plochy 1.2 Parametrické rovnice 1.3 Explicitní rovnice plochy 2 Základní rovnice plochy 2.1 Weingartenovy rovnice plochy 2.2 Gaussovy rovnice plochy 2.3 Codazziho rovnice plochy 3 Vlastnosti 4 Související články 5 Externí odkazy

Plochy v euklidovském prostoru

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

$F(x,y,z)=0$,

kde $F$ je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce $F$ má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar

$F(x,y,z)=0$

Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

$x=x(u,v)$

$y=y(u,v)$

$z=z(u,v)$

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž $u,v$ jsou parametry plochy. Každou dvojici $u,v$ z určitého oboru $\mathrm{\Omega }$ nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na $\mathrm{\Omega }$ spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle $u$ a $v$.

Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

$z=f(x,y)$,

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

Základní rovnice plochy

Vztahy mezi normálou plochy $\mathbf{n}$, rádiusvektorem $\mathbf{r}$ a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou $\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)$ uvést v různých tvarech.

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Weingartenovy rovnice plochy

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů $\mathbf{n}$ a $\mathbf{r}$.

$\frac{\text{part}\mathbf{n}}{\text{part}u}=\frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}u}+\frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}v}$

$\frac{\text{part}\mathbf{n}}{\text{part}v}=\frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}u}+\frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}v}$

$\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}u}=\frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\text{part}\mathbf{n}}{\text{part}u}+\frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\text{part}\mathbf{n}}{\text{part}v}$

$\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}v}=\frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\text{part}\mathbf{n}}{\text{part}u}+\frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\text{part}\mathbf{n}}{\text{part}v}$

kde $E,F,G$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu a $L,M,N$ jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochy

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru $\mathbf{r}$.

$\frac{{\text{part}}^2\mathbf{r}}{\text{part}{u}^2}=\frac{G\frac{\text{part}E}{\text{part}u}-2F\frac{\text{part}F}{\text{part}u}+F\frac{\text{part}E}{\text{part}v}}{2(EG-F^2)}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}u}+\frac{-F\frac{\text{part}E}{\text{part}u}+2E\frac{\text{part}F}{\text{part}u}-E\frac{\text{part}E}{\text{part}v}}{2(EG-F^2)}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}v}+L\mathbf{n}$

$\frac{{\text{part}}^2\mathbf{r}}{\text{part}u\text{part}v}=\frac{G\frac{\text{part}E}{\text{part}v}-F\frac{\text{part}G}{\text{part}u}}{2(EG-F^2)}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}u}+\frac{E\frac{\text{part}G}{\text{part}u}-F\frac{\text{part}E}{\text{part}v}}{2(EG-F^2)}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}v}+M\mathbf{n}$

$\frac{{\text{part}}^2\mathbf{r}}{\text{part}{v}^2}=\frac{-F\frac{\text{part}G}{\text{part}v}+2G\frac{\text{part}F}{\text{part}v}-G\frac{\text{part}G}{\text{part}u}}{2(EG-F^2)}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}u}+\frac{E\frac{\text{part}G}{\text{part}v}-2F\frac{\text{part}F}{\text{part}v}+F\frac{\text{part}G}{\text{part}u}}{2(EG-F^2)}\frac{\text{part}\mathbf{r}}{\text{part}v}+N\mathbf{n}$

kde $E,F,G$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu a $L,M,N$ jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochy

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu $E,F,G$ a základními veličinami plochy druhého řádu $L,M,N$.

$(EG-2F^2+GE)(\frac{\text{part}L}{\text{part}v}-\frac{\text{part}M}{\text{part}u})-(EN-2FM+GL)(\frac{\text{part}E}{\text{part}v}-\frac{\text{part}F}{\text{part}u})+\left|\begin{array}{ccc}E& \frac{\text{part}E}{\text{part}u}& L\\ F& \frac{\text{part}F}{\text{part}u}& M\\ G& \frac{\text{part}G}{\text{part}u}& N\end{array}\right|=0$

$(EG-2F^2+GE)(\frac{\text{part}M}{\text{part}v}-\frac{\text{part}N}{\text{part}u})-(EN-2FM+GL)(\frac{\text{part}F}{\text{part}v}-\frac{\text{part}G}{\text{part}u})+\left|\begin{array}{ccc}E& \frac{\text{part}E}{\text{part}v}& L\\ F& \frac{\text{part}F}{\text{part}v}& M\\ G& \frac{\text{part}G}{\text{part}v}& N\end{array}\right|=0$

Vlastnosti

• Zavedeme matici

$\left(\begin{array}{ccc}\frac{\text{part}x}{\text{part}u}& \frac{\text{part}y}{\text{part}u}& \frac{\text{part}z}{\text{part}u}\\ \frac{\text{part}x}{\text{part}v}& \frac{\text{part}y}{\text{part}v}& \frac{\text{part}z}{\text{part}v}\end{array}\right)$

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost $h=2$ jsou regulárními body. Je-li hodnost matice $h<2$, pak jde o singulární body.

• Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v $\mathrm{\Omega }$ nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost $h=2$, pak plochu označujeme jako hladkou.

Související články

• Prostorové geometrické útvary
• Přímková plocha
• Kvadratická plocha
• Kuželová plocha
• Válcová plocha
• Obsah

Externí odkazy

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii