Prezident Ruska Vladimir Putin je ruskou legislativou plně zmocněn proti Ukrajině nařídit
provedení neomezeného množství jaderných úderů, a proti jakýmkoliv cílům !!
Plocha
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
Řádka 6: | Řádka 6: | ||
V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného [[Eukleidovský prostor|euklidovského prostoru]]. Můžeme ji definovat jako [[množina|množinu]] všech [[bod]]ů, jejichž [[souřadnice]] vyhovují [[rovnice|rovnici]] | V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného [[Eukleidovský prostor|euklidovského prostoru]]. Můžeme ji definovat jako [[množina|množinu]] všech [[bod]]ů, jejichž [[souřadnice]] vyhovují [[rovnice|rovnici]] | ||
- | :<big>\(F(x,y,z)=0</ | + | :<big>\(F(x,y,z)=0\)</big>, |
- | kde <big>\(F</ | + | kde <big>\(F\)</big> je [[funkce (matematika)|funkce]], která má v každém bodě [[spojitost|spojitou]] [[parciální derivace|parciální derivaci]] alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule. |
Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají ''[[regulární bod]]y'' plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu [[nula|nulové]] označujeme jako ''[[singulární bod]]y''. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol [[kužel]]e. | Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají ''[[regulární bod]]y'' plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu [[nula|nulové]] označujeme jako ''[[singulární bod]]y''. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol [[kužel]]e. | ||
- | Singulární bod, v němž funkce <big>\(F</ | + | Singulární bod, v němž funkce <big>\(F\)</big> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá ''kónický bod'' plochy. |
Plocha určená svojí [[normála plochy|normálou]] se označuje jako '''orientovaná plocha'''. | Plocha určená svojí [[normála plochy|normálou]] se označuje jako '''orientovaná plocha'''. | ||
Řádka 19: | Řádka 19: | ||
=== Implicitní rovnice plochy === | === Implicitní rovnice plochy === | ||
Implicitní rovnice plochy má tvar | Implicitní rovnice plochy má tvar | ||
- | :<big>\(F(x,y,z)=0</ | + | :<big>\(F(x,y,z)=0\)</big> |
=== Parametrické rovnice === | === Parametrické rovnice === | ||
Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny [[soustava rovnic|soustavou rovnic]] | Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny [[soustava rovnic|soustavou rovnic]] | ||
- | :<big>\(x=x(u,v)</ | + | :<big>\(x=x(u,v)\)</big> |
- | :<big>\(y=y(u,v)</ | + | :<big>\(y=y(u,v)\)</big> |
- | :<big>\(z=z(u,v)</ | + | :<big>\(z=z(u,v)\)</big> |
- | Tato soustava rovnic představuje [[parametrická funkce|parametrické]] vyjádření plochy, přičemž <big>\(u, v</ | + | Tato soustava rovnic představuje [[parametrická funkce|parametrické]] vyjádření plochy, přičemž <big>\(u, v\)</big> jsou parametry plochy. Každou dvojici <big>\(u, v\)</big> z určitého oboru <big>\(\Omega\)</big> nazýváme [[bod]]em plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na <big>\(\Omega\)</big> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle <big>\(u\)</big> a <big>\(v\)</big>. |
=== Explicitní rovnice plochy === | === Explicitní rovnice plochy === | ||
Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar | Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar | ||
- | :<big>\(z=f(x,y)</ | + | :<big>\(z=f(x,y)\)</big>, |
pak hovoříme o explicitní rovnici plochy. | pak hovoříme o explicitní rovnici plochy. | ||
== Základní rovnice plochy == | == Základní rovnice plochy == | ||
- | Vztahy mezi [[normála|normálou]] plochy <big>\(\mathbf{n}</ | + | Vztahy mezi [[normála|normálou]] plochy <big>\(\mathbf{n}\)</big>, [[rádiusvektor]]em <big>\(\mathbf{r}\)</big> a jejich [[derivace]]mi určují tzv. ''základní rovnice plochy''. Tyto [[rovnice]] lze pro plochu určenou <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)\)</big> uvést v různých tvarech. |
{{Upravit}} | {{Upravit}} | ||
=== Weingartenovy rovnice plochy === | === Weingartenovy rovnice plochy === | ||
- | '''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <big>\(\mathbf{n}</ | + | '''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <big>\(\mathbf{n}\)</big> a <big>\(\mathbf{r}\)</big>. |
- | :<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</ | + | :<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}\)</big> |
- | :<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</ | + | :<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}\)</big> |
: | : | ||
- | :<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</ | + | :<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}\)</big> |
- | :<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</ | + | :<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}\)</big> |
- | kde <big>\(E, F, G</ | + | kde <big>\(E, F, G\)</big> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>\(L, M, N\)</big> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]]. |
=== Gaussovy rovnice plochy === | === Gaussovy rovnice plochy === | ||
- | '''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor|polohového vektoru]] <big>\(\mathbf{r}</ | + | '''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor|polohového vektoru]] <big>\(\mathbf{r}\)</big>. |
- | :<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}</ | + | :<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}\)</big> |
- | :<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}</ | + | :<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}\)</big> |
- | :<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}</ | + | :<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}\)</big> |
- | kde <big>\(E, F, G</ | + | kde <big>\(E, F, G\)</big> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>\(L, M, N\)</big> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]]. |
=== Codazziho rovnice plochy === | === Codazziho rovnice plochy === | ||
- | '''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy prvního řádu]] <big>\(E, F, G</ | + | '''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy prvního řádu]] <big>\(E, F, G\)</big> a [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy druhého řádu]] <big>\(L, M, N\)</big>. |
- | :<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + | + | :<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + |
- | :<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + | + | :<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + |
== Vlastnosti == | == Vlastnosti == | ||
* Zavedeme [[matice|matici]] | * Zavedeme [[matice|matici]] | ||
- | :<big>\( | + | :<big>\( |
- | Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice|hodnost]] <big>\(h=2</ | + | Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice|hodnost]] <big>\(h=2\)</big> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <big>\(h<2\)</big>, pak jde o singulární body. |
- | * Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <big>\(\Omega</ | + | * Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <big>\(\Omega\)</big> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost <big>\(h=2\)</big>, pak plochu označujeme jako '''hladkou'''. |
== Související články == | == Související články == |
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53
Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.
Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického útvaru.
Obsah[skrýt] |
Plochy v euklidovském prostoru
V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici
,
kde
Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.
Singulární bod, v němž funkce
Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.
Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.
Implicitní rovnice plochy
Implicitní rovnice plochy má tvar
Parametrické rovnice
Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic
Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž
Explicitní rovnice plochy
Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar
,
pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.
Základní rovnice plochy
Vztahy mezi normálou plochy
Weingartenovy rovnice plochy
Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů
kde
Gaussovy rovnice plochy
Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru
kde
Codazziho rovnice plochy
Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu
Vlastnosti
- Zavedeme matici
Body plochy, v nichž má tato matice hodnost
- Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v
nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost , pak plochu označujeme jako hladkou.
Související články
- Prostorové geometrické útvary
- Přímková plocha
- Kvadratická plocha
- Kuželová plocha
- Válcová plocha
- Obsah
Externí odkazy
[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|