Logaritmická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu. ^[1] ^[2]

Příklad, jak může rovnice vypadat:

$(3 - x) \cdot \log x = (2 - x) \cdot \log 4$

Obsah

[skrýt]

1 Řešení logaritmické rovnice
2 Související články
3 Reference

Řešení logaritmické rovnice

^[3] ^[4]

Jednoduchá rovnice

$\log_{5} \frac{1}{125} = x$
Z pravidla víme, že $y = \log_{a} x => a^{y} = x$ čili:
$5^{x} = \frac{1}{125}$
Nyní to budeme řešit jako exponenciální rovnici o stejném základu. Čili $125$ se dá napsat jako $5^{3}$ :
$5^{x} = \frac{1}{5^{3}}$
Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen $5$
$5^{x} = 5^{- 3}$
$x = - 3$

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Odstraněním logaritmu

$\frac{1}{7} \log_{2} (3 x - 5) = 0$
1. Podmínkou je, že $3 x - 5 > 0$
2. $3 x > 5$
3. $x > \frac{5}{3}$
Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
$\frac{1}{7} \log_{2} (3 x - 5) = \log_{2} 1$
$\frac{1}{7}$ napíšeme jako exponent:
$l o g_{2} (3 x - 5)^{\frac{1}{7}} = \log_{2} 1$
Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
$(3 x - 5)^{\frac{1}{7}} = 1$
Z exponentu $\frac{1}{7}$ uděláme sedmou odmocninu:
$\sqrt[7]{3 x - 5} = 1$
Celou rovnici umocníme na 7:
$3 x - 5 = 1$
Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
$3 x = 1 + 5$
$3 x = 6$
Celou rovnici vydělíme 3:
$x = 2$

Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

S pomocí kalkulačky

$(3 - x) \cdot \log 2 = (2 - x) \cdot \log 4$
Vynásobíme závorky s logaritmem:
$3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2 = 2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4$
Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
$- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2$
Vytkneme x:
$x \cdot (- \log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2$
Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
$x = \frac{- \log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}$
$x = \frac{- \log 2 + \log 4}{\log 4^{2} - \log 2^{3}}$
Vypočítáme na kalkulačce:
$x = \frac{- \log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}$
Výsledek je:
$x = 1$

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

$(\log_{2} x)^{2} - \log_{2} x - 2 = 0$
Poznámka: $(\log_{2} x)^{2} = \log_{2}^{2} x$
1. Podmínkou je, že $x > 0$
Zavedeme substituci $a = \log_{2} x$ čili:
$a^{2} - a - 2 = 0$
$(a - 2) (a + 1)$
Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
1. $a_{1} = 2$
2. $a_{2} = - 1$
Vyřešíme obě rovnice:
1. $\log_{2} x = 2$
  1. Z pravidla víme, že $y = \log_{a} x => a^{y} = x$ čili:
    $x = 2^{2}$
  2. $x = 4$
2. $\log_{2} x = - 1$
  1. Z pravidla víme, že $y = \log_{a} x => a^{y} = x$ čili:
    $x = 2^{- 1}$
  2. $x = \frac{1}{2^{1}}$
  3. $x = \frac{1}{2}$

Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Související články

Reference

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[0] Logaritmická rovnice - teorie

[1] Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady

[2] Logaritmická rovnice - řešené příklady

[3] Logaritmická rovnice - řešené příklady

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-{{Wikipedia-cs|Logaritmická rovnice|700}}
+'''Logaritimická rovnice''' je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu.
+<ref>[http://www.aristoteles.cz/matematika/rovnice/logaritmicke/logaritmicke-rovnice.php Logaritmická rovnice - teorie]</ref>
+<ref>[http://www.sps-karvina.cz/www/Ict2005/manual/data/matematika/VYUKA/06.rovnice_nerovnice/7.logaritmicke_rovnice/3.logaritmicke_rovnice.pdf Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady]</ref>
+''Příklad, jak může rovnice vypadat:''
+<big> $(3 - x) \cdot \log x = (2 - x) \cdot \log 4$ </big>
+== Řešení logaritmické rovnice ==
+<ref>[http://www.e-matematika.cz/stredni-skoly/logaritmicke-rovnice.php Logaritmická rovnice - řešené příklady]</ref>
+<ref>[http://webvyukacontent.olportal.cz/w-matsbirkass-041215/Logaritmicke_rovnice.htm Logaritmická rovnice - řešené příklady]</ref>
+=== Jednoduchá rovnice ===
+# <big> $\log_{5} \frac{1}{125} = x$ </big>
+# Z pravidla víme, že <big> $y = \log_{a} x => a^{y} = x$ </big> čili:<br /><big> $5^{x} = \frac{1}{125}$ </big>
+# Nyní to budeme řešit jako [[Exponenciální rovnice|exponenciální rovnici]] o stejném základu. Čili <big> $125$ </big> se dá napsat jako <big> $5^{3}$ </big>:<br /><big> $5^{x} = \frac{1}{5^{3}}$ </big>
+# Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen <big> $5$ </big><br /><big> $5^{x} = 5^{- 3}$ </big>
+# <big> $x = - 3$ </big>
+Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
+=== Odstraněním logaritmu ===
+# <big> $\frac{1}{7} \log_{2} (3 x - 5) = 0$ </big>
+## Podmínkou je, že <big> $3 x - 5 > 0$ </big>
+## <big> $3 x > 5$ </big>
+## <big> $x > \frac{5}{3}$ </big>
+# Z 0 uděláme [[logaritmus]] o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:<br /><big> $\frac{1}{7} \log_{2} (3 x - 5) = \log_{2} 1$ </big>
+# <big> $\frac{1}{7}$ </big> napíšeme jako [[Umocňování|exponent]]:<br /><big> $l o g_{2} (3 x - 5)^{\frac{1}{7}} = \log_{2} 1$ </big>
+# Nyní můžeme odstranit [[logaritmus]] na obou stranách, protože mají stejné základy:<br /><big> $(3 x - 5)^{\frac{1}{7}} = 1$ </big>
+# Z [[exponent]]u <big> $\frac{1}{7}$ </big> uděláme sedmou [[Odmocnina|odmocninu]]:<br /><big> $\sqrt[7]{3 x - 5} = 1$ </big>
+# Celou rovnici [[Umocňování|umocníme]] na 7:<br /><big> $3 x - 5 = 1$ </big>
+# Nyní to budeme řešit jako [[Lineární rovnice|lineární rovnici]]:<br /><big> $3 x = 1 + 5$ </big>
+# <big> $3 x = 6$ </big>
+# Celou [[Rovnice|rovnici]] vydělíme 3:<br /><big> $x = 2$ </big>
+Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.
+=== S pomocí kalkulačky ===
+# <big> $(3 - x) \cdot \log 2 = (2 - x) \cdot \log 4$ </big>
+# Vynásobíme závorky s [[Logaritmus|logaritmem]]:<br /><big> $3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2 = 2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4$ </big>
+# Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu [[Rovnice|rovnice]]:<br /><big> $- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2$ </big>
+# [[Vytýkání|Vytkneme]] x:<br /><big> $x \cdot (- \log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2$ </big>
+# Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><big> $x = \frac{- \log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}$ </big>
+# <big> $x = \frac{- \log 2 + \log 4}{\log 4^{2} - \log 2^{3}}$ </big>
+# Vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><big> $x = \frac{- \log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}$ </big>
+# Výsledek je:<br /><big> $x = 1$ </big>
+Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
+=== Substituce ===
+# <big> $(\log_{2} x)^{2} - \log_{2} x - 2 = 0$ </big><br />Poznámka: <big> $(\log_{2} x)^{2} = \log_{2}^{2} x$ </big>
+## Podmínkou je, že <big> $x > 0$ </big>
+# Zavedeme [[Substituce (matematika)|substituci]] <big> $a = \log_{2} x$ </big> čili:<br /><big> $a^{2} - a - 2 = 0$ </big>
+# <big> $(a - 2) (a + 1)$ </big>
+# Nyní máme výsledky [[Kvadratická rovnice|kvadratické rovnice]]:
+## <big> $a_{1} = 2$ </big>
+## <big> $a_{2} = - 1$ </big>
+# Vyřešíme obě [[rovnice]]:
+## <big> $\log_{2} x = 2$ </big>
+### Z pravidla víme, že <big> $y = \log_{a} x => a^{y} = x$ </big> čili:<br /><big> $x = 2^{2}$ </big>
+### <big> $x = 4$ </big>
+## <big> $\log_{2} x = - 1$ </big>
+### Z pravidla víme, že <big> $y = \log_{a} x => a^{y} = x$ </big> čili:<br /><big> $x = 2^{- 1}$ </big>
+### <big> $x = \frac{1}{2^{1}}$ </big>
+### <big> $x = \frac{1}{2}$ </big>
+Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.
+== Související články ==
+* [[Logaritmus]]
+* [[Rovnice]]
+* [[Lineární rovnice]]
+* [[Exponenciální rovnice]]
+** [[Umocňování]]
+* [[Substituce (matematika)]]
+* [[Kvadratická rovnice]]
+* [[Vytýkání]]
+== Reference ==
+<references/>
+{{Článek z Wikipedie}}
 [[Kategorie:Rovnice]]