Aproximace

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Aproximace (z lat. ad a proximus, blízký) znamená přiblížení; odtud přídavné jméno aproximativní, přibližný.

Obsah

1 V matematice a geometrii
2 Související články

V matematice a geometrii

V matematice znamená aproximace přibližnou hodnotu čísla nebo jednu z možných hodnot čísla, nebo také nahrazení čísla vhodným číslem blízkým. V geometrii se jedná o proložení několika bodů křivkou, přičemž není nutné, aby aproximační křivka přesně procházela zadanými body. (Na rozdíl od interpolace.)

Důvody aproximace

příliš náročný výpočet funkce (složitý funkční předpis, implicitně zadané funkce, …)
potřeba výpočtu dalších charakteristických funkcí (derivace, integrál, …)

Příklad

Např. Ludolfovo číslo lze za určitých okolností nahradit (aproximovat) hodnotou ²²⁄₇. Aproximace čísla \(\pi\) je tedy ²²⁄₇.

Přibližné vztahy využívající Taylorova rozvoje

Mnohé aproximace jsou založeny na rozvoji dané funkce v Taylorovu řadu a následném zanedbání vyšších členů rozvoje. Přesnost aproximace pak souvisí s počtem členů, které jsou použity. Mezi často používané přibližné vztahy patří např.

\(\mathrm{e}^{\pm x} \approx 1 \pm x\) (pro \(x\) blízké nule, příklad v článku Linearizace)
\(\ln(1 \pm x) \approx \pm x\) (pro \(x\) blízké nule)
Je-li absolutní hodnota proměnných \(x_1, x_2, ..., x_n, y_1, y_2, ..., y_n\) blízká nule, pak

\(\frac{(1\pm x_1)(1\pm x_2)\cdots(1\pm x_n)}{(1\pm y_1)(1\pm y_2)\cdots(1\pm y_n)} \approx 1 \pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n \mp y_1 \mp y_2 \mp \cdots \mp y_n\)

Speciálními případy jsou pak vztahy

\((1\pm x_1)(1\pm x_2)\cdots(1\pm x_n) \approx 1\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n\)

\(\frac{1}{(1\pm y_1)(1\pm y_2)\cdots(1\pm y_n)} \approx 1 \mp y_1 \mp y_2 \mp \cdots \mp y_n\)

Z předchozích vztahů lze pro \(n\)-tou mocninu získat vztah (stejný vztah lze získat z binomické věty zanedbáním členů obsahujících vyšší mocniny x)

\({(1\pm x)}^n \approx 1 \pm nx\)

Pro \(n\)-tou odmocninu lze nalézt přibližný výraz

\(\sqrt[n]{1\pm x} \approx 1\pm \frac{x}{n}\)

Pro dvě kladná a blízká čísla \(x\) a \(y\) taková, že čtverec jejich rozdílu \({(x-y)}^2\) lze zanedbat proti čtverci jejich součtu \({(x+y)}^2\), lze psát

\({(x+y)}^2 \approx 4xy\)

\(\sqrt{xy} \approx \frac{x+y}{2}\)

Přibližné výrazy goniometrických funkcí

Pro malý úhel \(\alpha\neq 0\) a libovolný úhel \(\beta\) lze pro goniometrické funkce použít následující přibližné vztahy.

\(\sin\alpha \approx \alpha\)

s relativní chybou menší než \(0,1%\) pro \(|\alpha|<0,08\,\mbox{rad}\) neboli \(4,5^\circ\). Přesnějším přiblížením je

\(\sin\alpha\approx\alpha - \frac{\alpha^3}{6}\)

s relativní chybou menší než \(10^{-5}\) pro \(|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}\) neboli \(14^\circ\).

\(\cos\alpha \approx 1\)

s relativní chybou menší než \(0,1%\) pro \(|\alpha|<0,04\,\mbox{rad}\) neboli \(2,3^\circ\). Přesnějším přiblížením je

\(\cos\alpha\approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}\)

s relativní chybou menší než \(10^{-4}\) pro \(|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}\) neboli \(14^\circ\).

\(\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha\)

s relativní chybou menší než \(0,1%\) pro \(|\alpha|<0,06\,\mbox{rad}\) neboli \(3,4^\circ\). Přesnějším přiblížením je

\(\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha+\frac{\alpha^3}{3}\)

s relativní chybou menší než \(5\cdot{10}^{-4}\) pro \(|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}\) neboli \(14^\circ\).

\(\alpha\sin\alpha\approx 1\)

s relativní chybou menší než \(0,1%\) pro \(|\alpha|<0,017\,\mbox{rad}\) neboli \(1,008^\circ\).

\(\sin(\beta\pm\alpha)\approx\sin\beta\pm\alpha\cos\beta\)
\(\cos(\beta\pm\alpha)\approx\cos\beta\mp\alpha\sin\beta\)
\(\operatorname{tg}(\beta\pm\alpha)\approx\operatorname{tg}\beta\pm\alpha\cos{2\beta}\)
\(\operatorname{cotg}(\beta\pm\alpha)\approx\operatorname{cotg}\beta\mp\alpha\sin{2\beta}\)

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 7: / Řádka 7: @@
 * potřeba výpočtu dalších charakteristických funkcí (derivace, integrál, …)
 ===Příklad===
-Např. [[číslo pí|Ludolfovo číslo]] lze za určitých okolností nahradit (aproximovat) hodnotou {{zlomek|22|7}}. Aproximace čísla <math>\pi</math> je tedy {{zlomek|22|7}}.
+Např. [[číslo pí|Ludolfovo číslo]] lze za určitých okolností nahradit (aproximovat) hodnotou {{zlomek|22|7}}. Aproximace čísla <big>\(\pi\)</big> je tedy {{zlomek|22|7}}.
 ===Přibližné vztahy využívající Taylorova rozvoje===
 {{viz též|Taylorova řada}}
 Mnohé aproximace jsou založeny na rozvoji dané [[funkce (matematika)|funkce]] v [[Taylorova řada|Taylorovu řadu]] a následném zanedbání vyšších členů rozvoje. Přesnost aproximace pak souvisí s počtem členů, které jsou použity.
 Mezi často používané přibližné vztahy patří např.
-* <math>\mathrm{e}^{\pm x} \approx 1 \pm x</math> (pro <math>x</math> blízké nule, příklad v článku [[Linearizace]])
+* <big>\(\mathrm{e}^{\pm x} \approx 1 \pm x\)</big> (pro <big>\(x\)</big> blízké nule, příklad v článku [[Linearizace]])
-* <math>\ln(1 \pm x) \approx \pm x</math> (pro <math>x</math> blízké nule)
+* <big>\(\ln(1 \pm x) \approx \pm x\)</big> (pro <big>\(x\)</big> blízké nule)
-* Je-li [[absolutní hodnota]] proměnných <math>x_1, x_2, ..., x_n, y_1, y_2, ..., y_n</math> blízká [[nula|nule]], pak
+* Je-li [[absolutní hodnota]] proměnných <big>\(x_1, x_2, ..., x_n, y_1, y_2, ..., y_n\)</big> blízká [[nula|nule]], pak
-:<math>\frac{(1\pm x_1)(1\pm x_2)\cdots(1\pm x_n)}{(1\pm y_1)(1\pm y_2)\cdots(1\pm y_n)} \approx 1 \pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n \mp y_1 \mp y_2 \mp \cdots \mp y_n</math>
+:<big>\(\frac{(1\pm x_1)(1\pm x_2)\cdots(1\pm x_n)}{(1\pm y_1)(1\pm y_2)\cdots(1\pm y_n)} \approx 1 \pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n \mp y_1 \mp y_2 \mp \cdots \mp y_n\)</big>
 Speciálními případy jsou pak vztahy
-:<math>(1\pm x_1)(1\pm x_2)\cdots(1\pm x_n) \approx 1\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n</math>
+:<big>\((1\pm x_1)(1\pm x_2)\cdots(1\pm x_n) \approx 1\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n\)</big>
-:<math>\frac{1}{(1\pm y_1)(1\pm y_2)\cdots(1\pm y_n)} \approx 1 \mp y_1 \mp y_2 \mp \cdots \mp y_n</math>
+:<big>\(\frac{1}{(1\pm y_1)(1\pm y_2)\cdots(1\pm y_n)} \approx 1 \mp y_1 \mp y_2 \mp \cdots \mp y_n\)</big>
-* Z předchozích vztahů lze pro <math>n</math>-tou [[mocnina|mocninu]] získat vztah (stejný vztah lze získat z [[binomická věta|binomické věty]] zanedbáním členů obsahujících vyšší mocniny ''x'')
+* Z předchozích vztahů lze pro <big>\(n\)</big>-tou [[mocnina|mocninu]] získat vztah (stejný vztah lze získat z [[binomická věta|binomické věty]] zanedbáním členů obsahujících vyšší mocniny ''x'')
-:<math>{(1\pm x)}^n \approx 1 \pm nx</math>
+:<big>\({(1\pm x)}^n \approx 1 \pm nx\)</big>
-* Pro <math>n</math>-tou [[odmocnina|odmocninu]] lze nalézt přibližný výraz
+* Pro <big>\(n\)</big>-tou [[odmocnina|odmocninu]] lze nalézt přibližný výraz
-:<math>\sqrt[n]{1\pm x} \approx 1\pm \frac{x}{n}</math>
+:<big>\(\sqrt[n]{1\pm x} \approx 1\pm \frac{x}{n}\)</big>
-* Pro dvě [[kladné číslo|kladná]] a blízká čísla <math>x</math> a <math>y</math> taková, že [[mocnina|čtverec]] jejich [[rozdíl]]u <math>{(x-y)}^2</math> lze zanedbat proti čtverci jejich [[součet|součtu]] <math>{(x+y)}^2</math>, lze psát
+* Pro dvě [[kladné číslo|kladná]] a blízká čísla <big>\(x\)</big> a <big>\(y\)</big> taková, že [[mocnina|čtverec]] jejich [[rozdíl]]u <big>\({(x-y)}^2\)</big> lze zanedbat proti čtverci jejich [[součet|součtu]] <big>\({(x+y)}^2\)</big>, lze psát
-:<math>{(x+y)}^2 \approx 4xy</math>
+:<big>\({(x+y)}^2 \approx 4xy\)</big>
-:<math>\sqrt{xy} \approx \frac{x+y}{2}</math>
+:<big>\(\sqrt{xy} \approx \frac{x+y}{2}\)</big>
 ===Přibližné výrazy goniometrických funkcí===
-Pro malý [[úhel]] <math>\alpha\neq 0</math> a libovolný úhel <math>\beta</math> lze pro [[goniometrická funkce|goniometrické funkce]] použít následující přibližné vztahy.
+Pro malý [[úhel]] <big>\(\alpha\neq 0\)</big> a libovolný úhel <big>\(\beta\)</big> lze pro [[goniometrická funkce|goniometrické funkce]] použít následující přibližné vztahy.
-* <math>\sin\alpha \approx \alpha</math>
+* <big>\(\sin\alpha \approx \alpha\)</big>
-s [[relativní chyba|relativní chybou]] menší než <math>0,1%</math> pro <math>|\alpha|<0,08\,\mbox{rad}</math> neboli <math>4,5^\circ</math>. Přesnějším přiblížením je
+s [[relativní chyba|relativní chybou]] menší než <big>\(0,1%\)</big> pro <big>\(|\alpha|<0,08\,\mbox{rad}\)</big> neboli <big>\(4,5^\circ\)</big>. Přesnějším přiblížením je
-:<math>\sin\alpha\approx\alpha - \frac{\alpha^3}{6}</math>
+:<big>\(\sin\alpha\approx\alpha - \frac{\alpha^3}{6}\)</big>
-s relativní chybou menší než <math>10^{-5}</math> pro <math>|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}</math> neboli <math>14^\circ</math>.
+s relativní chybou menší než <big>\(10^{-5}\)</big> pro <big>\(|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}\)</big> neboli <big>\(14^\circ\)</big>.
-* <math>\cos\alpha \approx 1</math>
+* <big>\(\cos\alpha \approx 1\)</big>
-s relativní chybou menší než <math>0,1%</math> pro <math>|\alpha|<0,04\,\mbox{rad}</math> neboli <math>2,3^\circ</math>. Přesnějším přiblížením  je
+s relativní chybou menší než <big>\(0,1%\)</big> pro <big>\(|\alpha|<0,04\,\mbox{rad}\)</big> neboli <big>\(2,3^\circ\)</big>. Přesnějším přiblížením  je
-:<math>\cos\alpha\approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}</math>
+:<big>\(\cos\alpha\approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}\)</big>
-s relativní chybou menší než <math>10^{-4}</math> pro <math>|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}</math> neboli <math>14^\circ</math>.
+s relativní chybou menší než <big>\(10^{-4}\)</big> pro <big>\(|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}\)</big> neboli <big>\(14^\circ\)</big>.
-* <math>\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha</math>
+* <big>\(\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha\)</big>
-s relativní chybou menší než <math>0,1%</math> pro <math>|\alpha|<0,06\,\mbox{rad}</math> neboli <math>3,4^\circ</math>. Přesnějším přiblížením je
+s relativní chybou menší než <big>\(0,1%\)</big> pro <big>\(|\alpha|<0,06\,\mbox{rad}\)</big> neboli <big>\(3,4^\circ\)</big>. Přesnějším přiblížením je
-:<math>\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha+\frac{\alpha^3}{3}</math>
+:<big>\(\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha+\frac{\alpha^3}{3}\)</big>
-s relativní chybou menší než <math>5\cdot{10}^{-4}</math> pro <math>|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}</math> neboli <math>14^\circ</math>.
+s relativní chybou menší než <big>\(5\cdot{10}^{-4}\)</big> pro <big>\(|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}\)</big> neboli <big>\(14^\circ\)</big>.
-* <math>\alpha\sin\alpha\approx 1</math>
+* <big>\(\alpha\sin\alpha\approx 1\)</big>
-s relativní chybou menší než <math>0,1%</math> pro <math>|\alpha|<0,017\,\mbox{rad}</math> neboli <math>1,008^\circ</math>.
+s relativní chybou menší než <big>\(0,1%\)</big> pro <big>\(|\alpha|<0,017\,\mbox{rad}\)</big> neboli <big>\(1,008^\circ\)</big>.
-* <math>\sin(\beta\pm\alpha)\approx\sin\beta\pm\alpha\cos\beta</math>
+* <big>\(\sin(\beta\pm\alpha)\approx\sin\beta\pm\alpha\cos\beta\)</big>
-* <math>\cos(\beta\pm\alpha)\approx\cos\beta\mp\alpha\sin\beta</math>
+* <big>\(\cos(\beta\pm\alpha)\approx\cos\beta\mp\alpha\sin\beta\)</big>
-* <math>\operatorname{tg}(\beta\pm\alpha)\approx\operatorname{tg}\beta\pm\alpha\cos{2\beta}</math>
+* <big>\(\operatorname{tg}(\beta\pm\alpha)\approx\operatorname{tg}\beta\pm\alpha\cos{2\beta}\)</big>
-* <math>\operatorname{cotg}(\beta\pm\alpha)\approx\operatorname{cotg}\beta\mp\alpha\sin{2\beta}</math>
+* <big>\(\operatorname{cotg}(\beta\pm\alpha)\approx\operatorname{cotg}\beta\mp\alpha\sin{2\beta}\)</big>
 == Související články ==