Lagrangeova věta (teorie grup)

'''Lagrangeova věta''' je základní tvrzení z teorie [[grupa|grup]], jehož důsledkem je, že [[řád prvku|řád]] každého prvku či [[Podgrupa|podgrupy]] dělí [[řád grupy]]. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. 
{{RIGHTTOC}}
Věta nese jméno významného francouzského matematika a astronoma <u>Josepha-Louis Lagrange</u> (* 25. ledna 1736, † 10. dubna 1813).

== Přesné znění ==
Pro grupu ''G'' a její podgrupu ''H'' platí:

: <big>\(|G|=[G:H]\cdot |H|\)</big>, kde |''X''| značí řád grupy ''X'' a [''G'':''H''] [[index grupy]] (počet [[Coset|levých cosetů]] ''H'' v ''G'').

== Důkaz ==
Nejprve ukážeme, že levé cosety <big>\(gH=\{gh;\;h\in H\}\)</big> tvoří dohromady pro <big>\(\forall g \in G\)</big> [[rozklad množiny]] G. Protože <big>\(x\cdot e=x\in xH\)</big>, nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky ''G''. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak <big>\(xH \cap yH\ne\emptyset\)</big> pro nějaké <big>\(x,y\in G\)</big>. Jinými slovy pro nějaká <big>\(h_1,h_2\in H\)</big> musí být <big>\(x\cdot h_1 = y\cdot h_2\)</big>. Vynásobením na pravé straně prvkem <big>\(h_2^{-1}\)</big> dostaneme
<big>\(x\cdot h_1\cdot h_2^{-1}=y\)</big>. Pro jednoduchost provedeme substituci <big>\(t=h_1\cdot h_2^{-1}\)</big>. 

Vzhledem k definici podgrupy <big>\(t\in H\)</big>, a proto:

<big>\(yH=\{yh;\;h\in H\}=\{(xt)h;\;h\in H\}=\{x(th);\;h\in H\}\)</big>.

<big>\(yH\subset xH\)</big>, neboť rovněž <big>\((th)\in H\)</big>, a tudíž každý prvek v ''yH'' je obsažen v ''xH''. Symetrickým postupem bychom získali <big>\(xH\subset yH\)</big>, a proto <big>\(yH=xH\)</big>.
Z čehož plyne, že cosety ''gH'' tvoří rozklad ''G''.

Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme [[Bijekce|bijektivní zobrazení]] ''f'' z ''H'' na ''xH'' pro <big>\(\forall x \in G\)</big>. Definujme f rovnicí

<big>\(f(h)=xh\)</big>

* Důkaz [[Prosté zobrazení|injektivity]]: Předpokládejme <big>\(f(h_1)=f(h_2)\)</big>.

<big>\(x\cdot h_1=x\cdot h_2\)</big>. Obě strany vynásobíme zleva prvkem <big>\(x^{-1}\)</big>

<big>\(x^{-1}\cdot x\cdot h_1=x^{-1}\cdot x\cdot h_2\)</big>

<big>\(h_1=h_2\)</big>

* [[Zobrazení na|Surjektivita]] je zřejmá z definice.

Nechť <big>\([G/H]\)</big> značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny ''G'' a každý z nich má tentýž řád |H|. Z těchto úvah plyne <big>\(|G|=[G/H]\cdot |H|\)</big>.

Tedy [[Q.E.D.]]

== Důsledky ==
Řád každého prvku <big>\( a\in G \)</big>, neboli nejnižší přirozené číslo ''n'', pro které <big>\(a^n=e\)</big>, je řád cyklické grupy generované prvkem ''a'', a proto podle Lagrangeovy věty ''n'' dělí řád grupy ''G''.
Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než [[Eulerova věta (teorie čísel)|Eulerova-Fermatova věta]]. Dá se ukázat, že množina [[Zbytek po dělení|zbytků modulo n]], které jsou s ''n'' nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je ''e'' = 1; existence inverzního prvku je důsledek [[Bézoutova rovnost|Bézoutovy rovnosti]] pro ''gcd(g,n)'' = 1; asociativita vyplývá z vlastností [[Modulární aritmetika|modulární aritmetiky]]; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s ''n'' je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo ''n''. Řád takové grupy je právě <big>\(\varphi (n)\)</big>, což je [[Eulerova funkce]]. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek ''g'' nějaký řád ''k'', který je dělitelem čísla <big>\(\varphi (n)\)</big>. Odtud plyne

<big>\(\varphi (n)=kd\)</big>, kde <big>\(d\in\mathbb{Z}\)</big>

<big>\(g^{\varphi (n)}=g^{kd}=({g^k})^d=e^d=e\)</big>

což je ekvivalentí zápisu

<big>\(g^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}\)</big>.

== Příbuzná tvrzení ==
Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak [[Sylowovy věty]] na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.

== Související články ==
* [[Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu]] – také známa jako Lagrangeova věta o střední hodnotě
* [[Sylowovy věty]]
== Externí odkazy ==

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Teorie grup]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]