Paprsková rovnice

'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu|indexem lomu]]. Její tvar je

<big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\)</big>,

kde <big>\(s\)</big> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

<big>\(n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}\)</big>

Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>\(\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\)</big> je vždy kolmá na <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}\)</big> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

<big>\(\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right|\)</big>.

Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu,  ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}\)</big> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

==Příklady==

Speciálně je-li <big>\(\nabla n =0\)</big>, dostáváme nulovou křivost v  každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí

<big>\(n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.\)</big>

Což lze přepsat pomocí úhlu <big>\(\alpha\)</big>, který paprsek svírá s osou y do tvaru

<big>\(n(y) \sin \alpha = konst.\)</big>

Z čehož speciálně plyne [[Snellův zákon]] lomu:

<big>\(n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2\)</big>

== Externí odkazy ==

{{Článek z Wikipedie}}	  
[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Optika]]