Weierstrassova funkce

Z Multimediaexpo.cz

Weierstrassova funkce s konstantami \(a=0,5\); \(b=3\).
Ukázka soběpodobnosti.

Weierstrassova funkce, pojmenovaná po německém matematikovi Karlu Weierstrassovi (1815–1897), je matematická funkce, která je ve všech bodech spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci.

Funkce se chová jako fraktál, neboť zvětšené části grafu a původní graf jsou podobné.[1]

Definice

Weierstrassova funkce bývá uváděna v různých tvarech s různými konstantami.

\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)\)
kde \(0<a<1\), \(b\) je kladné liché číslo a konstanty splňují následující podmínku.
\( ab > 1+\frac{3}{2} \pi\)
Později bylo dokázáno, že poslední uvedenou podmínku lze nahradit podmínkou \(ab \ge 1\).
Riemannova funkce, \(a=2\).
\(f_a(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{ \sin(\pi k^a x) } {\pi k^a} \,\)
přičemž údajně podle původní publikace \(a = 2\). Tato funkce má však v určitých izolovaných bodech konečné derivace. Podle jiných zdrojů[2] je tato funkce nazývána Riemannova, neboť podle Weierstrasse ji Bernhard Riemann uváděl na svých přednáškách okolo roku 1861.
  • Lze nalézt i jiné tvary nebo konkrétní konstanty.[1][3]

Související články

Reference

  1. ↑ 1,0 1,1 Příklad Weierstrassovy funkce, ukázka soběpodobnosti: http://www.math.washington.edu/…
  2. ↑ http://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/index-en.html
  3. ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/ira/cont/fp_weier.html


Citováno z „http://www2000.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Weierstrassova_funkce“